Bonjour !
I.
n(n+1)(2n+1) + 6(n+1)² = (n+1)(n+2)(2n+3) ?
n(n+1)(2n+1) + 6(n+1)² = n(2n² + n + 2n + 1) + 6(n² + 2n + 1) =
2n³ + 3n² + n + 6n² + 12n + 6 = 2n³ + 9n² + 13n + 6
(n+1)(n+2)(2n+3) = (n² + 2n + n + 2)(2n+3) = (n² + 3n + 2)(2n+3) =
2n³ + 6n² + 4n + 3n² + 9n + 6 = 2n³ + 9n² + 13n + 6
Donc :
n(n+1)(2n+1) + 6(n+1)² = (n+1)(n+2)(2n+3)
II.
Pour tout n >= 1,
→ 1 + 2² + 3² +...+ n² = (n (n+1)(2n+1))/6
Disons que c'est vrai. Mais est-ce que ce sera vrai pour (n+1) ?
(Principe de la récurrence)
Première façon de voir le problème :
(1² + 2² + 3² +...+ n²) +(n+1)² = ( (n (n+1)(2n+1))/6 ) +(n+1)² ?
Deuxième :
(1² + 2² + 3² +...+ n²) +(n+1)² = ( (n +1)( (n+1) +1)(2(n+1) +1) )/6 ?
Donc en gros :
Est-ce que :
(n (n+1)(2n+1))/6 + (n+1)² = ( (n +1)( (n+1) +1)(2(n+1) +1) )/6 ?
D’un côté :
(n (n+1)(2n+1)) / 6 +(n+1)² = (n (n+1)(2n+1)) / 6 +(6(n+1)²)/6 = ( n (n+1)(2n+1) + 6(n+1)² ) / 6
De l’autre :
( (n +1)( (n+1) +1)(2(n+1) +1) )/6 = ((n +1)(n+2)(2n+3) )/6
Donc la question finale :
Est-ce que :
(n(n+1)(2n+1) + 6(n+1)² ) / 6 = ((n +1)(n+2)(2n+3) )/6 ?
Et bien, on a prouvé plus haut que :
n(n+1)(2n+1) + 6(n+1)² = (n+1)(n+2)(2n+3)
Donc :
( n(n+1)(2n+1) + 6(n+1)² ) / 6 = ( (n +1)(n+2)(2n+3) ) / 6
C'est les mêmes expressions, mais toutes les deux divisées par 6, donc l'égalité est conservée.
Maintenant, il faut trouver une valeur de n qui valide l'équation de base : ce sera notre "n de départ".
Mettons : n=1.
Est-ce que :
1² = (1* (1+1)(2*1+1))/6 ?
-> 1² = 1
-> (1* (1+1)(2*1+1))/6 = (1 * 2 * 3) / 6 = 6/6 = 1
Donc 1² = (1* (1+1)(2*1+1))/6.
Et donc ça marche pour 1² + (1+1)², ça marche pour 1² + (1+1)² + (1+1+1)² ...
Voilà !