Réponse :
f(x) = (x² + 2 x + 1)e³ˣ⁺⁴
a) montrer que pour tout x de [- 2 ; 0]
f '(x) = (3 x² + 8 x + 5)e³ˣ⁺⁴
f(x) = (x² + 2 x + 1)e³ˣ⁺⁴ ⇔ f(x) = u*v ⇒ f '(x) = u'v + v'u
u = x² + 2 x + 1 ⇒ u' = 2 x + 2
v = e³ˣ⁺⁴ ⇒ v' = 3e³ˣ⁺⁴
f '(x) = (2 x + 2)e³ˣ⁺⁴ + 3(x² + 2 x + 1)e³ˣ⁺⁴
= (2 x + 2 + 3(x² + 2 x + 1)e³ˣ⁺⁴
= (2 x + 2 + 3 x² + 6 x + 3)e³ˣ⁺⁴
= (3 x² + 8 x + 5)e³ˣ⁺⁴
b) étudier le signe de f '(x)
f '(x) = (3 x² + 8 x + 5)e³ˣ⁺⁴ or e³ˣ⁺⁴ > 0 donc le signe de f '(x) dépend du signe de 3 x² + 8 x + 5
f '(x) = 0 ⇔ 3 x² + 8 x + 5 = 0
Δ = 64 - 60 = 4 donc √4 = 2
x1 = - 8 + 2)/6 = - 6/6 = - 1
x2 = - 8 - 2)/6 = - 10/6 = - 5/3
x - 2 - 5/3 - 1 0
f '(x) + 0 - 0 +
donc f '(x) ≥ 0 sur [- 2 ; - 5/3]U[- 1 ; 0]
f '(x) ≤ 0 sur [- 5/3 ; - 1]
Explications étape par étape