Réponse :
Bonjour,
Explications étape par étape
Soit , pour tout réel x, P(x)=x (x+1)(3x-10)(4-2x)
1) Montrez que P(x) est un polynôme.
Déterminer le degrés de P(x).
2) Déterminer le terme de degré 2
Déterminer le coefficient du monôme de degré 3
Déterminer le terme constant
3) En utilisant la forme la plus adaptée (factoriser/développer)
déterminer l'image de - 1, de 0, de 2 et de - 3
Déterminer le(s) antécédent(s) de 0 par P(x)
Déterminer le signe de P (x) sur R
1)
[tex]P(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\\[/tex]
Pour déterminer les coefficients , il suffit de développer.
[tex]x(x+1)=x^2+x\\\\x(x+1)(3x-10)\\=(x^2+x)(3x-10)\\=3x^3+3x^2-10x^2-10x\\=3x^3-7x^2-10x\\\\P(x)=(3x^3-7x^2-10x)(4-2x)\\=12x^3-28x^2-40x-6x^4+14x^3+20x^2\\\\=-6x^4+26x^3-8x^2-40x\\[/tex]
d(P(x))=4
2)
-8 est le coefficient du terme de degré 2
26 est le coefficient du terme de degré 3
0 est le terme constant
3)
P(x)=x (x+1)(3x-10)(4-2x)
P(-1)=...*0*...=0
P(0)=0*...=0
P(2)=...*(4-2*2)=0
P(-3)=(-3)*(-3+1)*(3*(-3)-10)*(4-2*(-3))
=-3*(-2)*(-19)*(10)=1140
[tex]0=P(x) \Longleftrightarrow\ x=0\ ou\ x=-1\ ou\ x=\dfrac{10}{3} \ ou\ x=2\\[/tex]
Signe de P(x)
[tex]\begin{array}{c|ccccccccccc}&-\infty&&-1&&0&&2&&\dfrac{10}{3}&&+\infty \\x&-&-&-&-&0&+&+&+&+&+&+\\x+1&-&-&0&+&+&+&+&+&+&+&+\\(4-2x)&+&+&+&+&+&+&0&-&-&-&-\\(3x-10)&-&-&-&-&-&-&-&-&0&+&+\\--&--&--&--&--&--&--&--&--&--&--&--\\P(x)&-&-&0&+&0&-&0&+&0&-&-\\\end{array}\\[/tex]
