Bonjour,
Cette version devrait être plus simple à comprendre. Dis moi si tu as des questions
Calculons les premières valeurs de la suite.
[tex]u_1=0\\\\u_2=u_1+2\times 1-1=0+2-1=1=1^2\\\\u_3=u_2+2\times 2-1=1+4-1=4=2^2\\\\u_4=u_3+2\times 3-1=4+6-1=9=3^2\\\\u_5=u_4+2\times 4-1=9+8-1=16=4^2[/tex]
*** Que remarquons-nous? ***
ça ressemble à des carrés parfaits, n'est-ce-pas?
Donc, on aurait envie de montrer que
pour tout n entier
[tex]u_n=(n-1)^2[/tex]
Etape 1 - Montrons que c'est vrai pour n = 1
[tex]u_1=0\\\\(1-1)^2=0^2=0[/tex]
C'est tout bon.
Etape 2 - Supposons que c'est vrai au rang k et regardons ce qu'il se passe au rang k+1
Nous supposons donc que [tex]u_k=(k-1)^2[/tex]
ok, que pouvons-nous dire de [tex]u_{k+1}[/tex]
[tex]u_{k+1}=u_k+2k-1[/tex]
C'est par définition de la suite
Utilisons l 'hypothèse de récurrence, cela devient
[tex]u_{k+1}=u_k+2k-1 =(k-1)^2+2k-1=k^2-2k+1+2k-1=k^2[/tex]
Et c'est exactement l'expression pour k+1
Donc on a démontré que cette proposition reste vraie au rang k+1
Etape 3 - Conclusion
On vient de démontrer par récurrence que pour tout n entier supérieur ou égal à 1
[tex]\Large \boxed{\sf \bf u_n=(n-1)^2 }[/tex]
Si jamais tu as du mal avec le raisonnement par récurrence, tu peux imaginer le travail suivant.
Tu dois peindre les arbres qui se situent au bord d'une route mais tu as deux instructions à suivre:
1. Le premier arbre doit être peint en blanc.
2. Si un arbre est en blanc alors le suivant doit être peint en blanc.
A ton avis, quelle sera la couleur de tous les arbres?
Est-ce que tu vois pourquoi les deux conditions sont importantes?
2)
pour tout entier n, différent de 0
[tex]v_n=\dfrac{5(n-1)^2+1}{(n-1)^2-3}\\\\\\=\dfrac{5n^2-10n+6}{n^2-2n-2}\\\\\\=\dfrac{5n^2(1-\dfrac{10}{5n}+\dfrac{6}{5n^2})}{n^2(1-\dfrac{2}{n}-\dfrac{2}{n^2})}\\\\\\=\dfrac{5(1-\dfrac{10}{5n}+\dfrac{6}{5n^2})}{(1-\dfrac{2}{n}-\dfrac{2}{n^2})}\\\\[/tex]
Quand n tend vers l'infini, cette expression tend vers 5, donc la suite est convergente.
merci
