Réponse :
Explications étape par étape
Bonjour,
1. exponentielle de x est toujours strictement positif, il n'y a aucune valeur de x possible pour avoir exp(x)=-4, donc il n'y a pas de solution.
2.
[tex](e^x-3)^2=9<=>e^x-3=\pm 3\\\\<=>e^x=6 \ ou \ e^x=0\\\\\text{Il y a une solution }\boxed{ln(6)}[/tex]
3.
[tex]e^{6x}+2e^{3x}-3=0\\\\<=>\left(e^{3x} \right)^2+2e^{3x}-3=0[/tex]
Tu peux voir ça comme une équation du second degré en [tex]e^{3x}[/tex].
La somme des racines est -2=-3+1 et le produit -3=-3*1, donc on peut factoriser.
[tex]e^{6x}+2e^{3x}-3=0\\\\<=>\left(e^{3x} \right)^2+2e^{3x}-3=0\\\\<=>(e^{3x}+3)(e^{3x}-1)=0\\\\<=>e^{3x}=-3 \ ou \ e^{3x}=1[/tex]
Il y a donc une solution [tex]\boxed{x=0}[/tex]
4.
Nous avons des expressions différentes de 0, et qui sont positives donc l 'inéquation est équivalente à
[tex]2(2e^x+3)<e^x+3\\\\<=>4e^x+12<e^x+3\\\\<=>3e^x<-9\\\\<=>e^x<-3[/tex]
Pas de solution
5.
Les valeurs considérés sont strictement positives, la fonction carrée est croissante pour les réels positifs donc, nous pouvons écrire que
[tex]\left( e^x\right)^2\leq \left( e^{-x}\right)^2\\\\<=> e^x\leq e^{-x}\\\\<=>e^{2x}\leq 1\\\\<=> \boxed{x \leq 0}[/tex]
l'ensemble solution est donc [tex]\mathbb{R}_{-}[/tex]
6.
Nous savons comment étudier le signe d'un produit.
signe de x+2 est positif pour x>= -2 , négatif sinon
signe de [tex]e^x-1[/tex] est positif pour x>=0, négatif sinon
Donc le signe du produit est positif pour [tex]\boxed{]-\infty;-2] \cup [0;+\infty[}[/tex]
Merci
