Bonjour,
1.
[tex]g'(x)=2xe^x+x^2e^x=x(x+2)e^x[/tex]
so g'(x) est négatif sur [-2;0], positif ailleurs
Donc g est croissante pour x <= -2 et x>=0 et décroissante sinon
2.
Sur [tex][0;+\infty[[/tex] g est continue et croissante et g(0)=-1 et g(x) tend vers [tex]+\infty[/tex] quand x tend vers [tex]+\infty[/tex] donc, il existe un unique [tex]\alpha[/tex] > 0 tel que g([tex]\alpha[/tex])=0
On en déduit:
[tex]\forall x \in [0;\alpha] \ g(x)\leq g(\alpha)=0\\ \\\forall x \in [\alpha;+\infty[ \ g(x)\geq g(\alpha)=0[/tex]
Partie B
1. pour tout x > 0
[tex]f'(x)=e^x-\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{x^2e^x-1}{x^2}=\dfrac{g(x)}{x^2}[/tex]
2. Un carré est toujours positif donc le signe de f'(x) est le même que le signe de g(x)
[tex]\forall x \in [0;\alpha] \ f'(x)\leq =0\\\\\text{f est decroissante sur } [0;\alpha] \\ \\\forall x \in [\alpha;+\infty[ \ f'(x)\geq g(\alpha)=0 \\\\\text{f est croissante sur }[\alpha;+\infty[ \\ \\[/tex]
La limite de f(x) en 0 est [tex]+\infty[/tex]
La limite de f(x) en [tex]+\infty[/tex] est [tex]+\infty[/tex]
3.
Le minimum de f est donc en [tex]\alpha[/tex]
[tex]f(\alpha)=e^{\alpha}+\dfrac{1}{\alpha}\\ \\g(\alpha)=\alpha^2 e^{\alpha}-1 = 0 \\ \\\\<=>e^{\alpha}=\dfrac{1}{\alpha^2}\\ \\\\\text{Donc, }f(\alpha)=e^{\alpha}+\dfrac{1}{\alpha}=\dfrac{1}{\alpha^2}+\dfrac{1}{\alpha}[/tex]
