Réponse :
Partie A
g(x) = x³ - 3 x - 4 définie sur [- 1 ; 1]
1) déterminer les variations de la fonction g puis dresser son tableau de variation sur [- 1 ; 1]
la fonction dérivée de g est g '(x) = 3 x² - 3 d'où g '(x) = 0
⇔ 3(x² - 1) = 0 ⇔ x² - 1 = 0 ⇔ (x + 1)(x - 1) = 0 ⇔ x = - 1 ou x = 1
puisque - 1 ≤ x ≤ 1 ⇔ - x ≤ x² ≤ x ⇔ - x - 1 ≤ x² - 1 ≤ 0
donc x² - 1 ≤ 0 alors g est décroissante sur [- 1 ; 1]
tableau de variation de g
x - 1 1
g(x) - 2 →→→→→→→→→→→→→ - 6
décroissante
2) en déduire le signe de la fonction g sur [- 1 ; 1}
puisque g(- 1) = - 2 et g(1) = - 6 et g(0) = - 4
donc g(x) ≤ 0 sur [- 1 ; 1]
Partie B
1) justifier que f est dérivable sur ]-1 ; 1[ puis pour tout x ∈]- 1 ; 1[
on a, f '(x) = x * g(x)/(x² - 1)²
f (x) = (x³ + 2 x)/(x² - 1) définie sur ]- 1 ; 1[
x³ + 2 x est dérivable sur [-1 ; 1] et x² - 1 est dérivable sur l'intervalle ]- 1 ; 1[
donc le quotient de deux polynômes est dérivable sur l'intervalle ]- 1 ; 1[
par conséquent f(x) est dérivable sur ]- 1 ; 1[
f '(x) = [(3 x² + 4 x)(x² - 1) - 2 x(x³ + 2 x²)](x² - 1)²
= (3 x⁴ - 3 x² + 4 x³ - 4 x - 2 x⁴ - 4 x³)/(x² - 1)²
= (x⁴ - 3 x² - 4 x)/(x² - 1)²
= x(x³ - 3 x - 4)/(x² - 1)² or g(x) = x³ - 3 x - 4
donc f '(x) = (x * g(x))/(x² - 1)²
2) en déduire les variations de f sur ]- 1 ; 1[
or g(x) ≤ 0 et (x² - 1)² > 0 donc le signe de f '(x) dépend du signe de si x ≥ 0 ⇒ x * g(x) ≤ 0 donc f '(x) < 0
si x ≤ 0 ⇒ x * g(x) ≥ 0 donc f '(x) > 0
x - 1 0 1
f(x) - ∞ →→→→→→→→→→ 0 →→→→→→→→→→→ - ∞
2) f '(a) = 1 ⇔ a(a³ - 3 a - 4)/(a² - 1)² = 1 ⇔ a(a³ - 3 a - 4) = (a² - 1)²
⇔ a⁴ - 3 a² - 4 a = a⁴ - 2 a² + 1 ⇔ a² + 4 a + 1 = 0
Δ = 16 - 4 = 12 ⇒ √Δ = 2√3
a1 = - 4 + 2√3)/2 = - 2 + √3 ou a2 = - 2 - √3
Explications étape par étape
