Réponse :
Bonjour :)
Explications étape par étape:
première ligne: on remplace juste f(x) par son expression
première à deuxième ligne: une fraction est positive si son numérateur et son dénominateur sont de même signe. Comme le numérateur est 1, on veut que le dénominateur (4x²-1) soit positif. De plus il n'a pas le droit d'être nul, comme tout dénominateur qui se respecte, donc on perd l'égalité, 4x²-1 doit être strictement positif.
deuxième ligne à troisième ligne: On utilise l'identité remarquable
a²-b²=(a-b)(a+b) pour obtenir un produit, avec a²=(2x)²=4x² et b²=1²=1
On vérifie alors quand chacun des membres du produit est nul, car à ce moment tout le produit est nul (encore une fois ce qu'on étudie ici est le dénominateur de f(x), donc l'annuler est strictement interdit).
On étudie enfin le signe:
2x-1 est négatif pour x<1/2 et positif pour x>1/2, et nul si x=1/2 (première ligne du tableau de signe)
2x+1 est négatif pour x<-1/2 et positif pour x>-1/2, et nul si x=-1/2 (deuxième ligne du tableau de signe)
On utilise ensuite le fait qu'un produit est positif si les deux termes sont de même signe, et négatif s'ils sont de signe opposé, et nul si l'un des termes est nul, pour obtenir la troisième ligne du tableau de signe
Enfin, on remet ce produit au dénominateur, la fraction gardant les mêmes signes, mais étant interdite si le dénominateur est nul. On a alors la quatrième ligne du tableau de signe, et donc le tableau de signe de f(x).
Pour répondre à la question initial, on regarde quand il y a des + sur cette ligne, autrement dit sur ]-∞;-1/2[ et sur ]1/2;+∞[ (attention à bien exclure 1/2 et -1/2).
J'espère que c'est plus clair !
