Bonjour,
Exercice 54:
[tex]I &= \int_{-3}^4|x|dx \\ &= \int_{-3}^0 |x|dx + \int_{0}^4 |x|dx &= \int_0^3 xdx + \int_{0}^4 xdx \\ &= \left[\frac{x^2}{2}^\right]_0^3 + \left[\frac{x^2}{2}^\right]_0^4 \\ &= \frac{9}{2} + 8 \\ &= 12,5[/tex]
Exercice 55:
a) La fonction [tex]x \mapsto 2x + 1[/tex] est continue sur [tex]]-\infty;1][/tex] et la fonction [tex]x \mapsto 2 + x^2[/tex] est continue sur [tex]]1; +\infty[[/tex] comme fonctions polynomiales. Étudions la continuité en 1.
On a f(1) = 2*1 + 1 = 3 et [tex]\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} 2 + x^2 = 2 + 1^2 = 3[/tex].
Donc la fonction f est continue sur [tex]\mathbb{R}[/tex].
b) Comme la fonction f est continue l'intégrale est bien définie entre -2 et 3 et on a:
[tex]\int_{-2}^3 f(x)dx &= \int_{-2}^1 f(x)dx + \int_1^3 f(x)dx \\&= \int_{-2}^1 (2x+1)dx + \int_1^3 (2+x^2)dx \\&= [x^2+x]_{-2}^1 + \left[2x + \frac{x^3}{3}\right]_1^3\\&= 0 + \frac{38}{3} = \frac{38}{3}[/tex]
Exercice 56:
1) On cherche les racines de f donc on résout f(x) = x² - x - 2 = 0.
Le discriminant de f est 9 ([tex]\Delta = b^2 - 4ac[/tex] pour rappel) donc il y a deux racines réelles:
[tex]x_1 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = -1\\x_2 = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = 2[/tex]
La fonction f est du signe de a (ici positif) sauf entre les racines donc f est positive sur [tex]]-\infty; -1][/tex] , négative sur [-1; 2] et positive sur [tex][2; +\infty[[/tex].
Tu penseras à faire un tableau de signe pour plus de lisibilité.
2)
a) Positive car on intègre f où elle est positive.
b) Négative car on intègre f où elle est négative.
c) Positive car on intègre f où elle est positive.
Oui c'était facile une fois qu'on a notre tableau de signe.
Exercice 57:
Cette exercice je te donne juste des piste, il ressemble à l'exercice 56.
Tu étudies le signe des fonctions qu'on intègre et tu dois trouver:
a) Positive.
b) Négative.
Indication:
a) Fais un tableau de signe avec comme lignes: x+1, exp(-x) et la multiplication des deux (x+1)exp(-x). Je te rappelle que '-' multiplier par '-' ça fait '+', '+' fois '+' ça fait '+' et '+' fois '-' ça fait '-' et 0 fois un nombre ça fait toujours 0.
b) Comme pour le précédent avec les lignes x, (x²+1) et x(x²+1).
Bonne fin de journée,
Thomas
