Bonjour,
a) On fait apparaître une forme u'/u pour primitiver :
[tex]I_1=\int_0^1 \dfrac{x}{1+x^2} \mathrm{d}x[/tex][tex]=\frac{1}{2}\int_0^1 \dfrac{2x}{1+x^2} \mathrm{d}x[/tex]
d'où : [tex]I_1=\frac{1}{2} \Big[ \ln|1+x^2| \Big]_0^1=\frac{1}{2}(\ln(2)-\ln(1))[/tex]
puis : [tex]\boxed{I_1=\frac{1}{2} \ln(2)}[/tex].
b) On utilise la linéarité de l'intégration (la somme de deux intégrales est l'intégrale de la somme) :
[tex]I_1+I_2=\int_0^1 \frac{x+x^3}{1+x^2} \mathrm{d}x=\int_0^1\frac{x(1+x^2)}{1+x^2} \mathrm{d}x=\int_0^1 x \:\mathrm{d}x=\Big[ \frac{x^2}{2} \Big]_0^1=\frac{1}{2}[/tex].
D'où :
[tex]I_2=\frac{1}{2}-I_1=\boxed{\frac{1}{2}(1-\ln(2))=I_2}[/tex].
