Réponse : Bonjour,
Comme [tex]\displaystyle \lim_{x \mapsto 0} \frac{1}{x}=+\infty[/tex], il suffit donc d'étudier la limite de cos(x) en +∞.
On pose [tex]u_{n}=2\pi n[/tex], alors [tex]\lim_{n \mapsto +\infty} u_{n}=+\infty[/tex], et [tex]\lim_{n \mapsto +\infty} \cos(u_{n})=1[/tex].
On pose maintenant [tex]\displaystyle v_{n}=\frac{\pi}{2}+2 \pi n[/tex], alors [tex]\lim_{n \mapsto +\infty} v_{n}=+\infty[/tex], et [tex]\lim_{n \mapsto +\infty} \cos(v_{n})=0[/tex].
Donc cos(x) n'a pas de limite en +∞, et donc [tex]\displaystyle \cos\left(\frac{1}{x}\right)[/tex] , n'admet pas de limite en 0.