Réponse :
1) les points D ; E et F semblent être alignés
2) a) quelle est la nature de ce repère (A ; B ; D)
c'est un repère orthonormé car (AB) ⊥ (AD) et ||AB|| = ||AD|| car ABCD est un carré
b) donner sans justifier les coordonnées des points A; B et D
A(0 ; 0)
B(1 ; 0)
D(0 ; 1)
3) a) où se trouve le point K sur le segment (AB) ? Justifier
le point K se trouve au milieu du segment (AB); car E K est la médiatrice du segment (AB)
b) en déduire les coordonnées du point K
K(1/2 ; 0)
c) montrer que EK = √3/2
EKB triangle rectangle en K, donc d'après le th.Pythagore
EK² = EB² - KB² = 1 - (1/2)² = 1 - 1/4 = 4/4 - 1/4 = 3/4
donc EK = √(3/4) = (√3)/2
d) en déduire les coordonnées du point E
E(1/2 ; √3/2)
4) démontrer la conjecture émise à la question 1
les vecteurs DE et EF sont colinéaires ssi X'Y - Y'X = 0
vec(DE) = (1/2 ; √3/2 - 1) = (1/2 ; (√3 - 2)/2)
vec(EF) = ((2+√3)/2 - 1/2 ; 1/2 - √3/2) = (1+√3)/2 ; (1 - √3)/2)
X'Y - Y'X = 0 ⇔ (1+√3)/2 *(√3 - 2)/2 - (1 - √3)/2 * 1/2
⇔ (√3 - 2 + 3 - 2√3)/4 - (1 - √3)/4
⇔ (1 - √3)/4 - (1 - √3)/4 = 0 ; donc les vecteurs DE et EF sont colinéaires ; on en déduit donc que les points D ; E et F sont alignés
Explications étape par étape
