Réponse : Bonjour,
On constate que 0 et 1 sont racines de ce polynôme car:
[tex]0^{4}+3 \times 0^{2}-4 \times 0=0\\1^{4}+3 \times 1^{2}-4 \times 1=1+3-4=0[/tex]
On a donc que:
[tex]x^{4}+3x^{2}-4x=x(x-1)(ax^{2}+bx+c)[/tex]
avec [tex]a, b, c[/tex] des réels.
On développe le membre de droite:
[tex]x(x-1)(ax^{2}+bx+c)=(x^{2}-x)(ax^{2}+bx+c)=ax^{4}+(b-a)x^{3}+(c-b)x^{2}-cx[/tex]
Par identification, on a:
[tex]a=1\\b-a=0 \Rightarrow a=b \Rightarrow b=1\\c-b=3 \Rightarrow c-1=3 \Rightarrow c=4\\-c=-4 \Rightarrow c=4[/tex]
Donc:
[tex]x^{4}+3x^{2}-4x=x(x-1)(x^{2}+x+4)[/tex]
Vérification:
[tex]x(x-1)(x^{2}+x+4)=(x^{2}-x)(x^{2}+x+4)=x^{4}+x^{3}+4x^{2}-x^{3}-x^{2}-4x\\= x^{4}+3x^{2}-4x[/tex]
Bonjour,
Une autre méthode :
[tex]x^{4} +3x^{2} -4x[/tex]
⇒ Facteur commun : [tex]x[/tex]
on a ainsi : [tex]x(x^{3} + 3x - 4 )[/tex]
Salon le Théorème de la racine évidente,, toutes les racines évidentes d'un polynôme se présentent sous la forme [tex]\frac{p}{q}[/tex] où p divise le terme constant -4 et q divise le 1 de coefficients dominants.
⇒ Ici la seule racine de ce type est 1 on peut donc factoriser le polynôme en le divisant par [tex]x-1[/tex]
on obtient ainsi :
[tex]x(x^{2} + x +4)(x-1)[/tex] ⇔ [tex]x(x-1)(x^{2} +x +4)[/tex]