Réponses :
a) il faut 4 < a < 5 ;
b) 20 plantes achetées !
Explications étape par étape :
■ (a-6)x² - 2(a-2)x + 2(a-5) = 0
Δ = 4(a-2)² - 4(a-6) * 2(a-5)
= 4(a²-4a+4) -8(a²-11a+30)
= -4a² + 72a - 224
= -4 (a² - 18a + 56)
= -4 (a²-18a+81 - 25)
= -4 [ (a-9)² - 5² ]
= -4 (a-9-5) (a-9+5)
= -4 (a-14) (a-4)
Δ > 0 donne 4 < a < 14
■ solutions :
x1 = { 2(a-2) - 2√[(a-14)(4-a)] } / 2(a-6)
= { a-2 - √[(a-14)(4-a)] } / (a-6)
on veut x1 négative :
4 < a < 6 donne a-2 - √[(a-14)(4-a)] > 0
a-2 > √[(a-14)(4-a)]
(a-2)² > (a-14)(4-a)
a² - 4a + 4 > -a² + 18a - 56
2a² - 22a + 60 > 0
a² - 11a + 30 > 0
a ∉ [ 5 ; 6 ]
conclusion : il faut 4 < a < 5
■ tableau :
a --> 4 4,5 5 6 8 10 12 14
Δ --> 0 19 6² 8² 96 96 64 0
sol -> -1 - 0 et -6 1/4 + + + 1,5
■ vérif :
a = 4,5 --> -1,5x² - 5x - 1 = 0
--> Δ = 5² - 6 = 19 ≈ 4,36²
--> solutions ≈ -3,12 ou -0,214 négatives !
■ b) soit N plantes achetées pour 250 € :
--> le prix d' achat est donc (250/N) €uros/plante
on vend (N-6) plantes à [ (250/N)+10 ] € par plante
le Bénéf est donc (N-6) [ (250/N)+10 ] - 250 = 65
250 + 10N - 1500/N - 60 - 250 = 65
10N - 1500/N - 60 = 65
10N - 1500/N - 125 = 0
N - 150/N - 12,5 = 0
N² - 150 - 12,5N = 0
N = 20 plantes !
■ vérif : achat de 20 plantes à 12,5o €/plante
vente de 14 plantes à 22,5o €/plante
Bénéf = 14x22,5 - 20x12,5 = 65 €uros
