Réponse :
Explications étape par étape :
■ bonjour !
■ 6 Bleues + 4 Jaunes + 10 Rouges = 20 boules
■ proba(1ère boule Rouge) = 10/20 = 1/2 = 0,5 = 50%
p(1ère boule Bleue) = 6/20 = 3/10 = 0,3 = 30%
p(1ère boule Jaune) = 4/20 = 1/5 = 0,2 = 20%
■ a) étude AVEC remise :
p(R;R) = (1/2)² = 1/4 = 0,25 = 25%
p(R;B) = 0,5 x 0,3 = 0,15 = 15%
p(R;J) = 0,5 x 0,2 = 0,1 = 10% .
si on prend en compte le fait de tirer une J puis une R :
p(J;R) = 0,2 x 0,5 = 0,1 = 10%
la proba totale est donc 0,2 = 20% .
■ b) étude SANS remise :
p(R;J) = 0,5 x 4/19 = 2/19 ≈ 0,1053 ≈ 10,5%
si on prend en compte le fait de tirer une J puis une R :
p(J;R) = 0,2 x 5/19 = 2/19 ≈ 0,1053 ≈ 10,5%
alors proba totale = 4/19 ≈ 0,21 ≈ 21%
■ 2a) supposons qu' on ait 15 Noires et 10 Blanches,
que l' on tire seulement 5 boules ( AVEC remise ) ;
calculons la proba de tirer 2 Noires :
proba(5 Noires) = (3/5)puissance5 = 0,6puiss5 = 0,07776 ( près de 7,8%)
p(4 N ; 1 B) = 5 x 0,6puiss4 x (2/5) = 0,2592 ( près de 25,9%)
p(3N;2B) = 10 x 0,6³ x 0,4² = 0,3456 ( près de 34,6% )
p(2N;3B) = 10 x 0,6² x 0,4³ = 0,2304 ( près de 23% )
p(1N;4B) = 5 x 0,6 x 0,4puiss4 = 0,0768 ( près de 7,7% )
p(5 Blanches) = 0,4puiss5 = 0,01024 ( près de 1% )
comme le total fait bien 100% --> j' ai juste !
■ 2b) étude AVEC remise :
on veut proba(n Noires) = 1% < 0,01
il faut résoudre 0,6puiss(n) < 0,01
n > Log0,01 / Log0,6
n > 9,015...
on prend n = 10 tirages !
vérif : p(9 Noires) = 0,6puiss9 ≈ 0,01008 ( supérieure à 1% )
p(10 Noires) = 0,6puiss(10) ≈ 0,00605
conclusion :
il faut bien 10 tirages consécutifs avec remise
pour obtenir la proba d' avoir au moins 1 Blanche
avec plus de 99 chances sur 100 .
■ remarque :
j' ai "simplifié" le problème des boules Noires/Blanches,
ce qui ne change rien à la méthode de résolution ! ☺