Sagot :
Je vais essayer de t'expliquer car l'intérêt n'est pas de te donner les réponses mais que tu progresses. Je ne chercherai donc pas à justifier formellement les réponses car je ne saurai le faire sans sortir du cadre du lycée.
1. X compte le nombre de lézards ramenés par le chat. Soit il en ramène 0, soit il en ramène 1. X appartient donc à la paire {0, 1} (elle vaut soit 0 soit 1).
On remarquera que ce que je viens de dire est en réalité faux mais c'est suffisant pour comprendre avec le niveau du lycée. En réalité X est une fonction et il serait plus correcte de dire que son domaine d'arrivée vaut {0, 1} et que pour tout événement w ∈ P(ω) où P désigne ici les parties de ω dans l'univers grand Oméga (que l'on pose), X(ω) ∈ {0, 1}.
C'est tout de suite plus compliqué et tu es sûrement perdu, c'est pourquoi je m'abstiendrai de faire ce genre de remarque pour la suite.
Comme X ne prend que les valeurs discrètes 0 ou 1, on pense à la loi de Bernoulli. La probabilité que le chat ramène un lézard vaut évidemment 3/5 (c'est dans l'énoncé !). Si tu ne te souviens plus ce qu'est la loi de Bernoulli, il faut consulter le cours ! C'est une loi classique des plus simples.
En général on note p la probabilité que X(ω) = 1 (càd qu'il ramène 1 lézard) et 1-p est la probabilité que X(ω) = 0 (càd qu'il ramène 0 lézard). Donc p = 3/5 ici.
L'espérance E(X) vaut p = 3/5 car X suit la loi de Bernoulli (voir le cours).
La variance vaut V(X) = p(1 - p) car X suit la loi de Bernoulli (voir le cours). Je te laisse faire les calculs avec p = 3/5.
Pour résumé, pour le 1., on a trouvé :
- La loi de la variable aléatoire X : loi de Bernoulli
- Les valeurs possibles : 0 et 1
- Les probabilités : 2/5 et 3/5 respectivement (pour 0 puis 1)
- L'espérance E(X) et la variance V(X).
On va essayer d'aller plus vite pour les autres questions !
2. Y désigne le numéro de la face obtenue après le lancé du dé à 12 faces. Le terme "équilibré" suppose qu'on a autant de chance d'obtenir chacune des faces : on dit que la loi P suivie par la variable aléatoire Y est la loi uniforme. Si tu ne te souviens plus, lis ton cours !
Y peut prendre les valeurs comprises dans l'intervalle d'entiers de 1 à 12 (tu n'as pas encore vu la notation, je ne l'utilise donc pas). Plus lourdement, les valeurs possibles de Y sont 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 et 12.
On a 12 issues possibles (celles juste en haut) à chaque lancer de dé. Comme la loi est uniforme, P(Y) = 1/12 (ça paraît logique).
On s'arrête ici 2 secondes. Pour justifier cela, il faudrait faire appel à une notion encore inconnue : les cardinaux. On noterait alors P(Y) = card(ω)/card(univers).
L'espérance E(Y) vaut par définition la somme des probabilités de chaque issue possible multipliées par l'issue. Ici on a : E(Y) = 1/12 * 1 + 1/12 * 3 + 1/12 * 4 + ... + 1/12 * 12. On peut évidemment factoriser par 1/12 et on trouve E(Y) = (1/12)(1+2+3+...+12) = 78/12 = 6,5.
On peut retrouver ce résultat avec la très simple formule E(Y) = (n+1)/2 = 13/2. J'ignore si elle est vue au lycée.
La variance V(Y) peut se calculer avec la définition : V(Y) = E((Y - E(Y))²) ou plus simplement avec le théorème de König. Je ne pense pas que cela soit de ton niveau.
Tu as sûrement plutôt vu la formule V(Y) = (n² - 1)/2 : je te laisse l'appliquer.
On remarque que les deux formules soulignées ne sont valables que pour une loi uniforme.
