Simplifications
[tex]V = \frac{1}{x+1}+\frac{2}{x-1} \\= \frac{1*(x-1)}{(x+1)*(x-1)}+\frac{2*(x+1)}{(x-1)*(x+1)} \\=\frac{(x-1)+2*(x+1)}{x^2-1^2}\\ =\frac{x-1+2x+2}{x^2-1} \\= \frac{3x+1}{x^2-1}\\ \\I = \frac{5}{2x-1}+1\\ = \frac{5}{2x-1} + \frac{2x-1}{2x-1}\\= \frac{5+2x-1}{2x-1}\\ = \frac{2x+4}{2x-1}\\ = \frac{2(x+2)}{2x-1} \\\\T = \frac{4}{x}+\frac{(x-1)}{(3x+5)}\\ = \frac{4*(3x+5)}{x*(3x+5)} + \frac{x*(x-1)}{x*(3x+5)}\\\= \frac{4*(3x+5) + x*(x-1)}{x*(3x+5)}\\ = \frac{12x+20+x^2-x}{x*(3x+5)} \\[/tex]
[tex]= \frac{x^2+11x+20}{x*(3x+5)}[/tex]
Etudes du signe :
V :
3x+1 est positif si x > -1/3, nul si x = -1/3, négatif si x < -1/3
x^2-1 est positif si x > 1 ou x < -1, nul si x = 1 ou -1, négatif si -1 < x < 1
Donc V est négatif si x < -1, positif pour -1 < x < -1/3, négatif pour -1/3 < x < 1, positif pour x > 1, et nul en chacun de ces points
I :
2(x+2) est positif pour x > -2, nul en -2, négatif pour x < -2
2x-1 est positif pour x > 1/2, nul en 1/2, négatif pour x < 1/2
Donc I est positif pour x < -2, négatif pour -2 < x < 1/2, positif pour x > 1/2, et nul en chacun de ces points
T :
x^2 + 11x + 20 est un polynôme du second degré,
Δ = (11)^2 - 4*(1*20)
= 121 - 80 = 41
Je ne sais pas si les valeurs que tu as donné sont justes mais dans le cas où elles le seraient, x^2 + 11x + 20 s'annule en x1 = [tex]\frac{-11+\sqrt{41}}{2}[/tex] et en x2= [tex]\frac{-11-\sqrt{41}}{2}[/tex]
Donc x^2 + 11x + 20 est supérieur pour tout x > x1, pour tout x < x2, et négatif entre les deux
x*(3x+5) se décompose en x et 3x+5,
3x+5 est positif pour x > -5/3, négatif pour x < -5/3 et nul en -5/3
donc x*(3x+5) est positif pour x < -5/3, négatif pour -5/3 < x < 0, positif pour x > 0, et nul en ces points
Finalement, je te laisse faire le tableau de variations pour celui ci tu as toutes les clefs en main il suffit de placer x1 & x2 par rapport à -5/3 & 0