Réponse : Bonjour,
1)a) La variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres n=8, et p=[tex]\frac{1}{6}[/tex] (probabilité d'obtenir un 6, lors du lancer du dé).
On a donc:
[tex]\displaystyle P(X=0)=\frac{8!}{0! 8!} \left(\frac{1}{6}\right)^{0} \times \left(\frac{5}{6}\right)^{8}=\left(\frac{5}{6}\right)^{8}[/tex]
b) La probabilité d'obtenir au moins un 6 sur les huit lancers est [tex]P(X \geq 1)[/tex].
Et on a que [tex]P(X \geq 1)=1-P(X < 1)[/tex].
Or [tex]P(X < 1)=P(X=0)[/tex], d'où:
[tex]\displaystyle P(X \geq 1)=1-P(X < 1)=1-P(X=0)=1-\left(\frac{5}{6}\right)^{8} \approx 0,767[/tex]
2) Si n est le nombre de lancers, alors la variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres n et p=[tex]\frac{1}{6}[/tex].
La probabilité d'obtenir au moins un 6 devienne supérieure ou égale à 95% est [tex]P(X \geq 1) \geq 0,95[/tex].
Donc:
[tex]\displaystyle 1-P(X < 1) \geq 0,95\\P(X < 1) \leq 0,05\\P(X=0) \leq 0,05\\\left(\frac{5}{6}\right)^{n} \leq 0,05\\ e^{n \ln(\frac{5}{6})} \leq 0,05\\ \ln( e^{n \ln(\frac{5}{6})}) \leq \ln(0,05)\\n \ln\left(\frac{5}{6}\right) \leq \ln(0,05)\\ n \geq \frac{\ln(0,05)}{\ln\left(\frac{5}{6}\right)} \approx 16,4[/tex]
Donc il faut lancer 17 fois un dé équilibré, pour que la probabilité d'obtenir au moins un 6 devienne supérieure ou égale à 95%.
