Réponse :
Explications étape par étape
Bonjour
Exo 1
[tex]f(x) = \frac{x-2}{e^x}[/tex]
1.
la fonction f est dérivable sur son domaine de définition
et pour tout x réel
[tex]f'(x) = \frac{e^x-(x-2)e^x}{e^{2x}}[/tex]
car c'est de la forme u/v donc la dérivée est [tex](u'v-uv')/v^2[/tex]
[tex]f'(x) = \frac{1-x+2}{e^x}\\f'(x) = \frac{3-x}{e^x}[/tex]
pour x <= 3 f'(x) >= 0 donc f est croissante
pour x >= 3 f'(x) <= 0 donc f est décroissante
2.
y - f(3) = f'(3) (x-3)
or f'(3) = 0 et f(3) = [tex]e^{-3}[/tex]
donc l'équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse 3 est [tex]y = e^{-3}[/tex]
Exo 2
1.
pour tout x de [2;10] [tex]x^2 - 3[/tex] est différent de 0 donc g(x) est bien définie
et g est dérivable sur cette intervalle car fraction de fonctions dérivables
[tex]g'(x) = \frac{e^x(x^2-3)-2xe^x}{(x^2-3)^2}\\g'(x) = \frac{e^x(x^2-3-2x)}{(x^2-3)^2}\\g'(x) = \frac{e^x(x^2-2x-3)}{(x^2-3)^2}[/tex]
comme [tex]e^x[/tex] et [tex](x^2-3)^2[/tex] sont toujours positifs le signe de g'(x) est le même que le signe de [tex](x^2-2x-3)[/tex]
2.
nous pouvons remarquer que [tex]x^2-2x-3 = (x+1)(x-3)[/tex] car -1 est une racine évidente et on peut deduire la seconde car leur produit est -3
sinon il est toujours possible d'utiliser le discriminant
[tex](x^2-2x-3)[/tex] est donc négatif pour x dans [2;3]
et positif pour x dans [3;10]
De ce fait g est décroissante sur [2;3]
et croissante sur [3;10]
