Sagot :
Détermination des coordonnées du centre du cercle.
[BC] est un diamètre du cercle, donc le milieu de [BC] est le centre du cercle. Calculons les coordonnées du centre que l'on appellera O.[tex]O(\dfrac{x_B + x_C}{2} ;\dfrac{y_B + y_C}{2} )\\O(\dfrac{3+3}{2} ;\dfrac{5+1}{2} )\\O(\dfrac{6}{2} ;\dfrac{6}{2} )\\O(3;3 )[/tex]
Détermination de la longueur du rayon du cercle.
[BC] est un diamètre du cercle, donc la longueur du rayon de ce cercle est la moitié de la longueur du segment [BC].
Calculons BC.
[tex]BC = \sqrt{(x_C - x_B)^2+(y_C - y_B)^2}\\BC = \sqrt{(3-3)^2+(1-5)^2}\\BC = \sqrt{0^2 + (-4)^2} \\BC = \sqrt{16} \\BC = 4[/tex]
Donc le rayon de ce cercle est de longueur 2.
Détermination de l'équation cartésienne de ce cercle.
Rappelons la forme générale d'une équation de cercle de centre [tex]O(x_O ; y_O)[/tex] et de rayon [tex]R[/tex] :
[tex](x-x_O)^2 + (y-y_O)^2 = R^2[/tex]
On remplace :
[tex](x-3)^2+(y-3)^2=2^2\\(x-3)^2+(y-3)^2=4[/tex]
Montrons que A est un point du cercle.
[tex](3+\sqrt{2} -3)^2 + (3+\sqrt{2} -3)^2 = \sqrt{2}^2 + \sqrt{2}^2 = 2+2=4[/tex]
Donc A est un point du cercle.
Déterminons une équation de la tangente au cercle passant par A.
Une tangente est une droite, donc son équation est de la forme [tex]y=a'x+b'[/tex] où [tex]a',b'[/tex] sont des nombres réels.
La tangente au cercle passant par A est perpendiculaire au segment [OA] (ou rayon).
Déterminons l'équation cartésienne de la droite (OA), qui est de la forme [tex]y=ax+b[/tex].
[tex]a = \dfrac{y_A - y_O}{x_A - x_O} \\a = \dfrac{3 + \sqrt2 - 3}{3 + \sqrt2 - 3} \\a = 1[/tex]
Donc [tex]y=x+b[/tex]. Mais le point O appartient à cette droite, donc [tex]3 = 3 + b \iff b=0[/tex]. L'équation de (OA) est alors : [tex]y = x[/tex].
Déterminons l'équation cartésienne de la tangente passant par A.
Comme (OA) et cette tangente sont perpendiculaires, alors le produit de leurs coefficients directeurs est égal à -1. Donc :
[tex]a \times a' = -1 \iff 1 \times a' = -1 \iff a'=-1[/tex].
Ainsi, [tex]y=-x+b[/tex].
Mais le point A appartient à cette droite, donc :
[tex]3+\sqrt{2} = -(3+\sqrt{2} )+b\\b = 6 + 2\sqrt{2}[/tex]
Donc une équation de la tangente au cercle C passant par A est : [tex]y=-x+6+2\sqrt{2}[/tex]
