Réponse : Bonjour,
a) On a:
[tex]\displaystyle \int_{0}^{1} x+\frac{1}{2} \; dx=\left[\frac{x^{2}}{2}+\frac{1}{2}x\right]_{0}^{1}=\frac{1^{2}}{2}+\frac{1}{2}-0=1[/tex]
[tex]\displaystyle \int_{0}^{1} x+\frac{1}{2} \; dx=1[/tex], donc f est une densité de probabilité.
b) On a:
[tex]\displaystyle P(X > \frac{1}{2})= \int_{\frac{1}{2}}^{1} x+\frac{1}{2} \; dx=\left[\frac{x^{2}}{2}+\frac{x}{2}\right]_{\frac{1}{2}}^{1}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\left(\frac{1}{4} \times \frac{1}{2}+\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}\right)\\=1-\frac{1}{8}-\frac{1}{4}=\frac{8-1-2}{8}=\frac{5}{8}[/tex]
c) On a:
[tex]\displaystyle E(X)=\int_{0}^{1}x f(x) \; dx=\int_{0}^{1} x \left(x+\frac{1}{2}\right) \; dx=\int_{0}^{1} x^{2}+\frac{x}{2} \; dx=\left[\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{4}\right]_{0}^{1}\\=\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{4+3}{12}=\frac{7}{12}[/tex]
