EXYLIAWB
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A RENDRE POUR DEMAIN S'IL VOUS PLAIT C'EST LA 3 EME FOIS JE REPOST !
1) AIJD est un carré de côté 10 cm. M est le milieu de [DJ] et C est le point de la demi-droite [DJ) tel que Ml = MC.
B est le point tel que ADCB soit un rectangle.
Calculer la valeur exacte de la longueur MI et en déduire la valeur exacte de la longueur du rectangle ADCB ?

2) Vérifier que le rapport « longueur sur largeur » du rectangle ADCB est égal à φ. Un tel rectangle est appelé Rectangle d'Or.

3) Prouver que IBCJ est un Rectangle d'Or.

Sagot :

FRANCOISMAREAU

1) On va déterminer la distance MI.

Par le théorème de Pythagore (le triangle MJI est rectange en J) :

[tex]MI=\sqrt{MJ^2+JI^2}=\sqrt{5^2+10^2}=\sqrt{125}=5\sqrt{5}[/tex]  cm (MJ=5 cm car J est le milieu du segment [DJ])

Or MI=MJ donc [tex]MJ=5\sqrt{5}[/tex]

et donc la longueur de ADCB vaut : [tex]DC=DJ+JC=10+5\sqrt{5} cm[/tex]

2) Le rapport longueur sur largeur du rectangle ADCB vaut :

[tex]\frac{DC}{AD}=\frac{5+5\sqrt{5}}{10}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\varphi[/tex].

3) Le rapport longueur sur largeur de IBCJ vaut :

[tex]\frac{IJ}{JC}=\frac{10}{5\sqrt{5}-5}=\frac{2}{\sqrt{5}-1}[/tex], et on multiplie par le conjugué :

[tex]\frac{IJ}{JC}=\frac{2(\sqrt{5}+1)}{\sqrt{5}^2-1}=\frac{2(\sqrt{5}+1)}{4}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\varphi[/tex]

donc IBCJ est un  Rectangle d'Or.