1)a) [tex]u_1=\frac{5u_0}{2u_0+5}=\frac{5}{7}[/tex]
b) Non, elle n'est pas arithmétique. En effet :
[tex]u_2-u_1=\frac{5}{9}-\frac{5}{7}=\frac{-10}{63} \not = u_3-u_2=\frac{5}{11}-\frac{5}{9}=\frac{-10}{99}[/tex]
c) On inverse les résultats précédents :
[tex]\frac{1}{u_0}=1\\\frac{1}{u_1}=\frac{7}{5}\\\frac{1}{u_2}=\frac{9}{5}\\\frac{1}{u_3}=\frac{11}{5}[/tex]
On voit que la différence [tex]\frac{1}{u_{i+1}}-\frac{1}{u_i}[/tex] semble constante égale à 2/5.
On peut conjecturer que la suite [tex](\frac{1}{u_n})[/tex] est arithmétique (de raison 2/5).
2)a) Pour tout naturel n :
[tex]v_{n+1}-v_n=\frac{1}{u_{n+1}}-\frac{1}{u_n}=\frac{2u_n+5}{5u_n}-\frac{1}{u_n}=\frac{2u_n}{5u_n}=\frac{2}{5}[/tex]
b) La suite (v_n) est donc arithmétique de raison 2/5, conformément à la conjecture.
c) On trouve donc :
[tex]v_0=v_0\\v_1=\frac{2}{5}+v_0\\v_n=n\frac{2}{5}+1[/tex]
d) Ainsi, pour n naturel :
[tex]u_n=\frac{1}{\frac{2n}{5}+1}=\frac{5}{2n+5}[/tex]
