Explications étape par étape:
Bonsoir,
4- Il te faut connaître toutes les hypothèses, c'est un exercice classique et faisant partie des pré-requis en prepa.
Tu prends f, une fonction continue sur [a,b] à valeurs dans R (ou C), dérivable sur ]a,b[.
Supposons que tu aies trouvé un réel M strictement positif, tel que pour s € [a,b], tu aies |f'(s) | <= M, alors | f(b) - f(a) | <= M * |b-a|. Il s'agit de l'inégalité des accroissements finis.
Je te laisse vérifier les hypothèses.
Comme | f'(x) | <= 1/12, alors :
| f(un) - f(alpha) | <= (1/12) * |un - alpha| car f(alpha) = alpha d'après la 1re question. Or, f(un) = u(n+1) donc :
| u(n+1) - alpha | <= (1/12) * |un - alpha|.
5- On peut procéder par récurrence, peut-être qu'il y a d'autres possibilités.
Initialisation : Pour n = 0, c'est trivialement vrai, mais on ne peut pas le vérifier, puisqu'on dispose d'une suite définie par récurrence. Néanmoins, on peut tricher, en utilisant la réflexivité de la relation d'ordre totale "=". En effet, x est toujours égal à lui-même par réflexivité. Donc | u0 - alpha | = | u0 - alpha |.
On vérifie avec la formule de la question 5 : Avec n = 0, on obtient la même égalité, donc initialisation vérifiée.
Cependant, ça pourrait être contesté, donc autant aussi vérifier le cas n = 1.
Par la formule de la question 4, on affirme :
|u1 - alpha| <= (1/12) * |u0 - alpha|.
Ensuite on vérifie avec la question 5 :
|u1 - alpha| <= (1/12) * |u0 - alpha|.
L'astuce ici, consiste à bien déterminer ce qu'on sait, et ce qu'on doit démontrer. La formule de la question 4 est vraie pour tout n, on peut donc l'appliquer librement.
Hérédité : Supposons que la propriété soit vraie pour un entier naturel n fixé, montrons qu'elle l'est au rang n+1 :
Par la question 4, on peut écrire :
| u(n+1) - alpha | <= (1/12) * | un - alpha|.
Or, par hypothèse de récurrence :
| un - alpha | <= (1/12)^n * |u0 - alpha|, donc en l'injectant dans l'intégralité précédente, il s'ensuit :
| u(n+1) - alpha | <= (1/12) * (1/12)^n * | un - alpha | = (1/12)^(n+1) * | un - alpha |, ce qui achève la démo par récurrence.
6- Ici c'est évident, le terme de droite tend vers 0 en + infini, donc |un - alpha| tend vers 0, d'où un tend vers alpha. Rigoureusement, tu peux utiliser la définition d'une suite convergente, avec les epsilons, les n0 etc, mais ce n'est pas nécessaire
