Explications étape par étape:
Bonsoir, concernant les limites, il te faut juste savoir les cas indéterminés, qui sont de la forme : 0*infini, 0/0, infini - infini, infini / infini. Toutes les autres formes de limites peuvent être résolues.
1- lim ln(x) = - infini lorsque x tend vers 0+ (cela signifie que x tend vers 0, en restant strictement supérieur à 0) donc lim -(1/4)*ln(x) = + infini. D'autre part, lim x = 0+ lorsque x tend vers 0+. Par operations sur les limites, ton expression tend vers + infini.
2- Ici, forme indéterminée, car lim (-1/4)*ln(x) = - infini lorsque x tend vers + infini, et lim x = + infini, on aurait : infini - infini. Il va falloir factoriser astucieusement par ln(x) :
4 - (1/4)*ln(x) - x = ln(x) * [ (4/ln(x)) - (1/4) - (x / ln(x)].
lim 4 / ln(x) = 0 en + infini par quotient, néanmoins, il reste une forme indéterminée : infini / infini pour x / ln(x). L'astuce ici, c'est d'utiliser la croissance comparée. En analysant les courbes de x et ln(x), x va croître beaucoup plus vite que ln(x), donc x / ln(x) tend vers + infini en + infini (ça se démontre, mais c'est assez difficile).
Finalement : 4 / ln(x) - (1/4) - (x/ln(x)) tend vers - infini en + infini, donc par produit, ton expression tend vers -infini * infini = - infini.
