Explications étape par étape:
Bonjour,
1-a. Sur le pavé droit, on dénombre 2 carrés, celui du haut, et celui du bas, ainsi que 2 faces extérieures incluant les hauteurs (gauche et droite). Sur ces 2 carrés, 4 longueurs de ruban, donc 4x (x étant longueur du carré). Identique pour les 2 faces extérieures, 4h (h étant la hauteur). Le ruban ayant une longueur de 1 m sans le noeud, on déduit que 4x + 4h = 1.
B- En divisant la précédente égalité par 4, il s'ensuit que x + h = 0,25. x étant une longueur, il ne peut pas être négatif. Si x > 0,25 alors x+h > 0,25 qui est absurde. Donc obligatoirement : 0 <= x <= 0,25.
C- Sachant que x + h = 0,25, on déduit que h = 0,25 - x.
2a- En développant V(x), on obtient V(x) = - x^3 + (1/4)*x^2 donc V'(x) = - 3x^2 + (1/2)*x = x*[-3x + (1/2)] par les formules usuelles de dérivation.
Si x = 0, V'(x) s'annule. Si 0 < x <= 0,25 alors il faut étudier le signe de - 3x + (1/2).
-3x + (1/2) s'annule pour x = 1/6. Si x € ]0 ; 1/6[ alors -3x + (1/2) > 0, si x € ]1/6 ; 1/4] alors -3x + (1/2) < 0.
Finalement : V'(x) = 0 si x = 0 ou x = 1/6. V'(x) > 0 si x € ]0 ; 1/6[ et V'(x) < 0 si x € ]1/6 ; 1/4].
B- Par l'étude du signe de la dérivée, on déduit que V est strictement croissante sur [0;1/6] et décroissante sur [1/6;1/4].
3- Puisque V change de variation uniquement en x = 1/6, V admet pour maximum x = 1/6 qui est la longueur recherchée. Le volume associé vaut V(1/6) = ((1/4) - (1/6))*1/36 = (1/12) * (1/36) = 1/432 m^3
