Explications étape par étape:
Salut,
1- Je te laisse tracer toi-même la figure, c'est de la géométrie.
2- Par la relation de Chasles, soit I le milieu de [AB] alors MA.MB = 0 <==> (MI + IA).(MI + IB) = 0 <==> MI^2 + MI.IB + IA.MI + IA.IB = 0
<==> MI^2 + MI.(IA+IB) + IA.IB = 0 par commutativité du produit scalaire.
<==> MI^2 + IA.IB = 0 car I milieu de [AB] donc IA + IB = 0.
IA.IB = IA * IB * cos (AIB) = (1/2)AB * (1/2)AB * cos (AIB) = (1/4)*AB^2 * cos(AIB). A, I, et B étant alignés, on a cos (AIB) = cos (pi) = - 1.
Donc IA.IB = - 16, on en déduit que MI^2 = 16.
L'ensemble E1 recherché, c'est donc le cercle de centre I, et de rayon 4.
3- Identiquement à la question précédente, inutile de refaire les calculs, on peut affirmer, avec J milieu de [AC] :
MJ^2 + JA.JC = 10.
De même, JA.JC = (1/4)*AC^2 * cos (AJC) = - 9/4.
Par conséquent : MJ^2 = 10 + (9/4) = 49 / 4.
L'ensemble E2 recherché est donc le cercle de centre J, et de rayon 7/2.
4- Comme R est situé sur l'intersection de E1 et E2, R appartient simultanément à E1 et E2, donc R vérifie l'équation RI^2 = 16 et RJ^2 = 49 / 4. On déduit alors que IR = IM = 4, et RJ = JM = 7/2.
De même, d'après l'énoncé, A, B, C, I et J sont alignés. Avec IA = IB = 4 cm, et JA = JC = 1,5 cm. On en déduit, en terme de longueur, que IJ = IA - AJ = 4 - 1,5 = 5/2 cm = 2,5 cm.
Par la loi des cosinus, on affirme que dans le triangle RIJ : RJ^2 = RI^2 + IJ^2 - 2*RI*IJ*cos(RIJ) d'où cos(RIJ) = [RI^2 + IJ^2 - RJ^2] / (2*RI*IJ) = [16 + 25/4 - 49/4] / (2*4*5/2) = 10 / 20 = 1/2.
Donc RIJ = arccos(1/2) = pi/3 = 60°.
5- En effet IA = IR = 4 cm, donc le triangle ARI est isocèle en I. Or, A, I et J sont alignés donc angle (RIA) = angle (RIJ) = 60°. Par le caractère isocèle du triangle ARI rectangle en I, les angles IAR et IRA sont égaux. On dispose d'1 angle, RIA qui vaut 60°, la somme des angles d'un triangle valant 180°, on déduit que tous les angles valent 60°. On conclut donc finalement que ARI est équilatéral, d'où AR = AI = RI = 4 cm.
6- Dans le triangle BIR, on a IB = IR = 4 cm, donc BIR isocèle en I. Il dispose donc de 2 angles égaux, angle(IBR) = angle (IRB). On sait que AIR est équilatéral, avec angle (AIR) = 60°, et par alignement des points A, I et B, on déduit que angle (BIR) = 180 - 60 = 120°. On determine par conséquent que : angle (IBR) = angle (IRB) = 30°.
Comme A, I et B sont alignés, angle (IBR) = angle (ABR) = 30°. De plus, angle (ARB) = angle (ARI) + angle (IRB) = 60 + 30 = 90°. En outre, angle (RAB) = 60°. Donc ABR est rectangle en R.
Par le théorème de Pythagore, on a AB^2 = AR^2 + BR^2 d'où BR^2 = AB^2 - AR^2 = 64 - 16 = 48 donc BR = racine de 48 = 4*rac(3).
7.a. Par définition du projeté orthogonal, le triangle AHR est rectangle en H. On déduit donc : sin (RAH) = RH / AR d'où RH = AR * sin(RAH) = AR * sin (RAB) par alignement de B et H.
Donc : RH = 4*sin(60) = 2*rac(3) cm
B- Si BR = BS alors BRS est isocèle en B. Si H est le milieu de [RS] alors RS = 2*RH = 4*rac(3) cm = BR = BS. Donc a fortiori, BRS est équilatéral.
