bonjour qui peut m aider
Exercice n°2 :
Une société fabrique des pièces pour l’aéronautique.
Le bénéfice de l’entreprise, en euros, noté B est donné en fonction
du rang n du mois par :

B(n) = n3 – 21n² + 120n + 4 500

Problématique : Quel est le bénéfice maximal qui peut être réalisé ?

1) Calculer le bénéfice pour n = 4.

2) Soit la fonction f définie pour tout nombre réel x de l’intervalle [1 ; 12] par :

f(x) = x3 – 21x² + 120x + 4 500

a) Déterminer f’(x) où f’ est la fonction dérivée de la fonction f.

b) Résoudre l’équation f’(x)

c) Compléter le tableau de variations de la fonction f. Indiquer les valeurs intermédiaires de f.

La fonction qui nous est proposée dans cet exercice est une fonction polynôme. Pour calculer le bénéfice de l'entreprise pour n = 4; c'est à dire au 4 ème mois de production, il suffit juste de remplacer n par cette valeur dans la fonction.

Explications étape par étape

On considère la fonction [tex]B(n) = n^3 -21x^2 +120n +4500[/tex]

1. Calculer le bénéfice pour n=4

En replaçant n par 4, on obtient:

[tex]B(4) = 4^3 -21(4)^2 +120(4) +4500\\= 64 -336 +480 + 4500 = 4708[/tex]

Après 4 mois, l'entreprise aura réaliser un bénéfice de 4708 €

2) On considère maintenant la fonction f définie sur [1; 12] par

[tex]f(x) = x^3-21x^2+120x+4500[/tex]

a) Calculons la dérivée de f(x)

[tex]f'(x) = 3x^2-42x+120[/tex]

b) Résoudre l'équation [tex]f'(x) =0[/tex]

On a:

[tex]f'(x) = 0\\\Rightarrow 3x^2-42x+120=0\ en\ divisant\ par\ 3\\\Rightarrow x^2 -14x+40=0\\\Delta = (14)^2-4(1)(40)=196-160=36\\\sqrt{\Delta} =6\\x_1=\frac{14-6}{2}=4 \\x_2=\frac{14+6}{2}=10[/tex]

c) Tableau de variation

On obtient ainsi le tableau de variation suivant (voir en PJ)

On remarque ainsi que le bénéfice maximal est au cours du mois 4.

Plus loin sur les fonctions..https://nosdevoirs.fr/devoir/491009

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