Réponse :
Partie A
f(x) = 10 x/(x² + 20 x + 100) définie sur [0 ; + ∞[
1) calculer f '(x) et vérifier que f '(x) = (- 10 x² + 1000)/(x² + 20 x + 100)²
(u/v)' = (u'v - v'u)/v²
u = 10 x ⇒ u' = 10
v = x² + 20 x + 100 ⇒ v' = 2 x + 20
donc f '(x) = (u/v)' = [10(x²+20 x + 100) - (2 x + 20)10 x]/(x² + 20 x + 100)²
= (10 x² + 200 x + 1000 - 20 x² - 200 x)/(x² + 20 x + 100)²
= (- 10 x² + 1000)/(x² + 20 x + 100)²
Donc on a bien f '(x) = (- 10 x² + 1000)/(x² + 20 x + 100)²
2) étudier les variations de f sur [0 ; + ∞[
or (x² + 20 x + 100)² > 0 donc le signe de f '(x) dépend du signe de
- 10 x² + 1000
or - 10 x² + 1000 ⇔ (10 + x)(10 - x) on a 10 + x ≥ 0
x 0 10 + ∞
10 - x + 0 -
f(x) 0 →→→→→→→→→→ 1/4 →→→→→→→→→→ 0
croissante décroissante
Explications étape par étape
