Réponse :
Explications étape par étape
1) f(0)=3 f'(0)=1 f'(1)=0
2) [tex]f'(x)= ae^{x} +(ax+b) e^{x} = (a+ax+b) e^{x}[/tex]
b) f(0)= b +c = 3 f '(0)= a+b =1 f'(1)= (a+a+b)e = (2a+b)e=0
donc 2a+b = 0
c) b = -2a et c = 3 b = 3 + 2a et a+b = a-2a= 1 donc -a = 1
a = -1 b= 2 c = 3-2 = 1
f(x)= (x² - 2,5x+1) e^x
f '(x)= (2x - 2,5)e^x + (x² - 2,5x+1) e^x = (x² - 0,5x -1,5) e^x
f '(x) = (x+1)(x - 1,5) e^x
comme e^x >0 f '(x) a le même signe que (x+1)(x - 1,5) c'est à dire
positif pour x< -1 négatif pour -1<x<1,5 positif pour x > 1,5
f est donc croissante pour x< -1 décroissante pour -1<x<1,5 croissante pour x > 1,5 ( comme on peut le voir sur la figure)
2)la tangente a pour equation y =f'(-1)(x+1)+f(-1) = f(-1)= 4e^-1
à la calculatrice on resoud l 'equation (x² - 2,5x+1) e^x = 4e^-1
on trouve x= -1 et x = 2,110686572 qui est l'abscisse de M
3) y = f'(0)(x-0) + f(0)= -1,5x + 1
