Réponse :
Explications étape par étape
Bonjour,
soit a réel quelconque
si f et g sont deux fonctions sur un ensemble qui contient a et g(x) non nul au voisinage de a
alors f est équivalent à g au voisinage de a si lim (f(x)/g(x)) = 1 pour x tendant vers a
(a)
pour un équivalent a l'infini de fonctions polynomiales nous pouvons prendre les termes de plus haut degré
donc
[tex]\frac{2x^3-4x+2}{x^2 +1}[/tex] est équivalent à [tex]\frac{2x^3}{x^2} = 2x[/tex]
f(x) est équivalent a 2x au voisinage de [tex]+\infty[/tex]
Nous pouvons le prouver de manière formelle en étudiant la limite de f(x) / 2x pour x tendant vers l'infini
et ca fait bien 1
(b)
De même [tex]x^2-x+1[/tex] est équivalent à [tex]x^2[/tex] au voisinage de [tex]+\infty[/tex]
d'où g(x) est équivalent a x quand x tend vers [tex]+\infty[/tex]
(c)
Notre cours sur la fonction exponentielle nous permet de dire sans avoir à le redémontrer ici que
[tex]lim (\frac{e^x-1}{x}) = 1[/tex] quand x tend vers 0
ce qui revient à dire que [tex]e^x-1[/tex] est équivalent a x au voisinage de 0
(d)
Encore une fois le cours sur la fonction logarithme est bien pratique et nous permet de rappeler un résultat du cours
à savoir
[tex]lim(\frac{ln(1+x)}{x}) = 1[/tex] quand x tend vers 0
cela veut dire que
[tex]lim(\frac{xln(1+x)}{x^2}) = 1[/tex] quand x tend vers 0
donc xln(1+x) est équivalent a [tex]x^2[/tex] quand x tend vers 0
