Réponse :
bonsoir
Partons de la fonction f(x)=x+1+x/e^x; e^ x étant toujours >0 f(x) est définie sur R
sa dérivée f'(x)=1+(e^x-x*e^x)/e^2x=(e^2x+e^x-x*e^x)/e^2x=e^x(e^x +1-x)/e^2x
après implification par e^x il reste f'(x)=(e^-x)(1-x+e^x).
comme e^-x est >0 le signe de f'(x) dépend donc du signe de 1-x+e^x
pour obtenir le signe de cette expression on va étudier la fonction auxilaire g(x)=1-x+e^x
Explications étape par étape
A) étude de g(x)=1-x+e^x
Df=R
limites si x tend vers -oo, g(x) tend vers +oo (car e^x tend vers0)
si x tend vers +oo, g(x) tend vers+oo (croissance comparée entre x et e^x)
Dérivée g'(x)=-1+e^x elle s'annule pour x=0
Tableau de signes de g'(x) et de variation de g(x)
x.. -oo 0 +oo
g'(x) ................-.........................0.............+..................
g(x) +oo........décroi..............g(0)........croi..............+oo
Comme g(0)=2 De ceci on déduit que g(x) est toujours >0
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B) revenons à notre fonction f(x) on a vu que le signe de f'(x) est le même que celui g(x) par conséquent f(x) est croissante surR
calculons les limites
si x tend vers -oo , f(x) tend vers -oo+(-oo/0+)=-oo
si x tend vers +oo, f(x) tend vers+oo+1+0=+oo
Tableau de signes de f'(x) et de variations de f(x)
x -oo +oo
f'(x)...........................+.................................
f(x)-oo............croissante.........................+oo
Equation de la tangent au point d'abscisse x=0
On applique la formule y=f(0)(x-0)+f(0)=2x+1
