Réponse :
1) a) calculer U2
sachant que U1 = 100
U2 = 100 + 0.05 x 100 + 20 = 100(1+0.05) + 20 = 1.05 x 100 + 20 = 125
2) justifier que, pour tout n non nul, Un+1 = 1.05 x Un + 20
U2 = 1.05 x 100 + 20 peut s'écrire : U2 = 1.05 x U1 + 20
U3 = 125 + 0.05 x 125 + 20 = 125(1+0.05) + 20 = 1.05 x 125 + 20
U3 peut s'écrire : U3 = 1.05 x U2 + 20
U4 = 1.05 x U3 + 20, ....
donc on peut écrire Un+1 = 1.05 x Un + 20
2) pour tout entier naturel n, non nul on pose Vn = Un + 400
a) calculer V1
V1 = U1 + 400 = 100 + 400 = 500
b) démontrer que (Vn) est une suite géométrique et préciser sa raison
Vn+1 = Un+1 + 400 = 1.05 Un + 20 + 400 = 1.05 Un + 420
Vn = Un + 400
Vn+1/Vn = (1.05 Un + 420)/(Un + 400) = 1.05(Un + 400)/(Un + 400)
donc Vn+1/Vn = 1.05 ⇔ Vn+1 = 1.05 x Vn (Vn) est une suite géométrique de raison q = 1.05
c) exprimer Vn en fonction de n puis en déduire que
Un = 500 x 1.05ⁿ⁻¹ - 400
Vn = V1 x qⁿ⁻¹ = 500 x 1.05ⁿ⁻¹
puisque Vn = Un + 400 ⇔ Un = Vn - 400 ⇔ Un = 500 x 1.05ⁿ⁻¹ - 400
d) déterminer en fonction de n, la somme V1 + V2 + .... + Vn
Sn = V1 + V2 + .... + Vn
= 500 + 500 x 1.05 + ..... + 500 x (1.05)ⁿ⁻¹
= 500(1 + 1.05 + 1.05² + .... + (1.05)ⁿ⁻¹
= 500 x (1 - (1.05)ⁿ)/(1-1.05)
= 500 x (1 - (1.05)ⁿ)/-0.5
= - 1000 x (1 - (1.05)ⁿ)
5) quelle réponse Marc doit-il donner
- 1000 x (1 - (1.05)ⁿ) = 10 000 ⇔ - 1 + (1.05)ⁿ = 10 ⇔ (1.05)ⁿ = 11
n ln (1.05) = ln (11) ⇔ n = ln(11)/ln(1.05) = 2.3978/0.04879 ≈ 49 j
Explications étape par étape