Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape
Pour déterminer les volumes hebdomadaires vendus pour lesquels le bénéfice hebdomadaire est égal à 400 euros, nous lisons les abscisses des points de la courbe d’ordonnée 400.
Avec la précision permise par le graphique, nous obtenons 3,2 ou 15,4.
Pour une fabrication de 3,2ℓ ou de 15,4ℓ, le laboratoire réalise un bénéfice de 400 (.
2. Pour déterminer les volumes hebdomadaires vendus, pour lesquels le laboratoire Clamex est bénéficiaire, nous lisons l’intervalle sur lequel la courbe est située au-dessus de l’axe des abscisses. Les abscisses des points d’intersection de la courbe avec l’axe des abscisses
sont α ≈ 1 et β ≈ 16,3.
Le laboratoire réalise un bénéfice lorsqu’il vend une production appartenant à l’intervalle [α ; β].
Partie B : étude du bénéfice hebdomadaire
On admet que la courbe donnée en annexe 1 est la représentation graphique de la fonction B définie sur l’intervalle [0 ; 17] par
B(x) = −x
3 +6x
2 +180x −184.
On note B
la fonction dérivée de la fonction B.
1. a. Pour tout réel x appartenant à l’intervalle [0 ; 17], B
(x) = −(3x 2 )+6(2x)+180 = −3x
2 +12x +180.
b. Montrons que B
(x) = (−3x+30)(x+6) pour tout réel x appartenant à l’intervalle [0 ; 17]
Pour ce faire, développons (−3x +30)(x +6).
(−3x +30)(x +6) = −3x
2 −18x +30x +180 = −3x
2 +12x +180 = B
(x).
c. Étudions le signe de B
(x) sur l’intervalle [0 ; 17].
Pour tout x ∈ [0 ; 17], x +6 > 0. Par conséquent le signe de B
(x) est celui de −3x +30.
Sur R, −3x +30 > 0 est équivalent à x < 10. Il en résulte :
si x ∈ [0 ; 10[, B
(x) > 0 et si x ∈]10 ; 17], B
(x) < 0.
d. Dressons le tableau de variations de la fonction B sur l’intervalle [0 ; 17].
Si pour tout x ∈ I, f(x) < 0 alors la fonction f est strictement décroissante sur I.
Pour x ∈]10 ;17], B
(x) < 0, par conséquent B est strictement décroissante sur cet intervalle.
Si pour tout x ∈ I, f
(x) > 0 alors f est strictement croissante sur I.
Pour x ∈ [0 ; 10[, B
(x) > 0 par conséquent B est strictement croissante sur cet intervalle.
x 0 10 17
B
(x) + 0 −
Variations de B
−184 −303
1214
2. Déterminons le volume hebdomadaire vendu pour obtenir un bénéfice maximal.
La fonction B étant strictement croissante sur [0; 10[ et strictement décroissante sur ]10; 17], admet donc en 10 un maximum égal à 1 214(.
Le volume hebdomadaire vendu pour obtenir un bénéfice maximal est de dix litres. Le bénéfice sera alors de 1 214 euros.
