1) On calcule [tex]f(5)=-2\times 5^{2} + 90\times5-400=0\\f(40)=-2\times 40^{2} + 90\times40-400=0[/tex] Donc 5 et 40 sont bien des racines du polynôme.
2) On en déduit que [tex]f(x)=(x-5)(x-40)[/tex]
3) D'après les propriétés d'un polynôme on sait que le polynôme va être négatif entre -∞ et 5, positif entre 5 et 40 puis de nouveau négatif entre 40 et +∞
Et donc sur l'intervalle [15;30], f est positif.
4) Le maximum est atteint en -b/2a d'après les formules
ici b=90 et a=-2 d'où le maximum est atteint en 22,5
5) La fonction est croissante de 15 à 22,5 puis décroissante jusqu'en 30
6)Le tableau de variation nous montre qu'il existe un maximum de profit qui est atteint pour 22,5 unités produites et le profit sera alors de 61250€
