Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape
je vais tenter d apporter le plus de precisions possibles
en esperant que cela puisse aider a la comprehension de ces notions delicates
permettez moi de m excuser a l avance pour la absence d accent ou de c cindille
mon ordinateur etant un ordinateur anglais avec un clavier qwerty je n ai pas la possibilite de retranscrire toute la diversite de la langue francaise
Alors commencons par le commencement
pour tout x de l intervalle [0;10]
la fonction f est une fonction polynomiale donc derivable sur cet intervalle
Et nous pouvons ecrire pour tout x de l intervalle [0;10]
f'(x) = -0.1 * 2 * x + 1 soit
f'(x) = -0.2 * x + 1
C est fantastique de connaitre la derivee pour trouver les optimums de la fonction f
en effet, il s agit de trouver les points ou la derivee s annule
Procedons ainsi de la sorte
pour tout x de l intervalle [0;10]
f'(x) = 0 est equivalent a
-0.2 * x + 1 = 0
<=>
0.2 * x = 1
<=>
x = 1/0.2 = 5
donc la derivee de f s annule en x = 5
et pour 0 <= x <= 5 f'(x) >= 0
et pour 5 <= x <= 10 f'(x) <= 0
Nous pouvons donc en deduire que la fonction f est croissante sur [0;5]
puis decroissant sur [5;10]
elle admet donc un maximum en x = 5
et la valeur de ce maximum est donc f(5)
mais combien fait f(5)?
remplacer x par 5 dans la formule suivante -0.1*x^2 + x + 5 cela donne
-0.1*5^2 + 5 + 5 = -0.1*25 + 10 = -2.5 + 6 = 7.5
le maximum est donc 7.5 m , ce qui laisse suffisament de place pour se tenir debout a l interieur du batiment
Mais ce n est pas la question posee
continuons donc avec la suite des questions
nous devons calculer f(12.5)
Nous allons utiliser la meme methode que dans la question precedente
comme elle a fait ses preuves il est inutile d en changer
cette fois ci par contre nous remarquerons qu il faut remplacer x par 12.5
et cela donne
0.1*12.5^2+12.5+5 = 0.1*156.25+17.5 = 15.625+17.5=1.875
On dirait pas comme ca mais on avance pas mal dans la resolution de ce probleme
en effet nous pouvons maintenant en deduire la hauteur du poteau qui doit etre
de 1.875m si jamais on fait un prolongement parabolique de la toiture
Certes, 1.875m c est plus bas que 7.5m
et il est possible de trouver des gens qui soient genees par cette toiture trop basse
Dans ce cas, pourquoi ne pas analyser un prolongement rectiligne de la toiture
ca tombe bien c est l objet de la question suivante
on va essayer de faire quelque chose d un peu harmonieux
prenons la pente de la tangente en ce point du coup
ce point se situe a x = 10 du coup que pourrait faire f'(10)?
ben f'(10) = -0.2 * 10 + 1 = -1
et l equation de la tangente est donc
y - f(10) = f'(10) ( x - 10)
inutile de calculer f(10) car f(10) = f(0) = 5 mais bon si vous etes de nature sceptique, faites le calcul vous verrez bien
donc nous nous retrouvons avec
y - 5 = -x + 10 soit
y = -x + 15 comme equation de la tangente
et maintenant ca nous donne quoi comme hauteur de poteau ?
ben -12.5 + 15 = 2.5
voila 2.5m c est deja mieux - tout le monde pourra passer sans se cogner la tete
Comme nous devons avoir des poteaux superieurs a 2.10m
nous allons abandonner notre idee saugrenue de prolongement parabolique
et adopter le prolongement rectiligne qui permet un poteau de 2.50m soit 40 cms de plus que les exigences initiales
N hesitez pas si vous avec des questions
merci
