Bonjour, j’ai besoin d’aide pour un exercice de maths, c’est le 66p263 dans le manuel « transmaths » de 2nde programme 2019.
L’énoncé de l’exercice c’est: Jean et Edgar souhaitent réaliser un potager de 20m de périmètre. Ils doivent le faire dans un coin du jardin. Les dimensions du potager doivent être optimisées pour avoir la plus grande aire pour un périmètre de 20m.
Les questions sont:
A- Modéliser le problème de Jean et Edgar a l’aide d’une fonction dont on précisera l’ensemble de définition
B- représenter cette fonction à l’aide d’une calculatrice et conjecturer la réponse au problème: qu’elle est l’aire maximale?
C-justifier que: quel que soit x appartenant aux nombres réels, 25-10x+x2 est plus grand ou égal à 0.
D- démontrer la conjecture du maximum.

Je ne comprends vraiment pas cet exercice alors que j’ai 14 de moyenne en maths. Merci de votre aide.

Bonjour/ bonsoir, déjà les pistes données par Noah sont super, dans ce style d'exercice, il est le plus souvent demandé à l'élève de faire appel à toutes ses connaissances pour arriver à la solution.

Dans un premier temps, la modélisation du problème ici sera de caractériser mathématiquement l'aire maximale que l'on pourra avoir avec la contrainte d'un périmètre de 20 mètres, et ce biensûr à l'aide d'une fonction numérique.

Explications étape par étape

A- Modélisation du problème

Pour se faire, il convient de bien choisir la figure qui représentera notre potager.

Cas d'un carré

En prenant un carré pour la forme du potager, on aboutit à une seule possibilité d'aire maximale. La formule du périmètre d'un carré nous conduit à:

[tex]P=4c => c=P/4 = 20/4 = 5m[/tex]. Pour un côté de 5m on aboutit donc à une aire de 25 m².

Cas d'un cercle

En prenant un cercle pour la forme du potager, on aboutit égalemet à une seule possibilité d'aire maximale. La formule du périmètre d'un carré nous conduit à:

[tex]P=2\pi r => r=P/2\pi = 20/6.28 = 3.1847 m[/tex]. Pour un côté de 3.1847m on aboutit donc à une aire de 31.8 m² environ.

Cas d'un rectangle(l'exercice laisse à penser que c'est le cas à privilégier)

Comme dit dans les commentaires, le périmètre d'un rectangle s'exprime comme suit:

[tex]P = 2(L+l) => L+l = P/2 => L+l = 10[/tex] En posant la longueur comme variable x, on obtient : [tex]L =x\ et\ l=10-x[/tex] Ce qui nous permet d'écrire que l'aire du potager aura pour expression

[tex]A(x) = 10-x^{2}\ avec\ x\in ]0;10[[/tex]

B- Représentation de la fonction (Cf image jointe)

On constate que l'aire maximale est de 25 m², ce qui nous fait revenir au cas d'un carré.

C- Comme l'a remarqué Noah, 25-10x+x² = (5-x)² et vu qu'un carré est toujours positif, cette expression sera toujours positive.

D- Démontrer la conjecture du maximum

[tex]25-10x+x^{2}\geq 0\\=> 25 \geq 10x-x^{2} \\=> 25 \geq A(x)[/tex]

Ainsi, l'aire maximale ne pourra donc qu'être 25 m², comme conjecturer sur la figure à la question B). Cependant, si le potager prend un forme circulaire, l'aire maximale obtenue monte à 31 comme vu plus haut.

Pour aller plus loin sur les problèmes..https://nosdevoirs.fr/devoir/2500370

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