Réponse :
Bonjour/ bonsoir, déjà les pistes données par Noah sont super, dans ce style d'exercice, il est le plus souvent demandé à l'élève de faire appel à toutes ses connaissances pour arriver à la solution.
Dans un premier temps, la modélisation du problème ici sera de caractériser mathématiquement l'aire maximale que l'on pourra avoir avec la contrainte d'un périmètre de 20 mètres, et ce biensûr à l'aide d'une fonction numérique.
Explications étape par étape
A- Modélisation du problème
Pour se faire, il convient de bien choisir la figure qui représentera notre potager.
En prenant un carré pour la forme du potager, on aboutit à une seule possibilité d'aire maximale. La formule du périmètre d'un carré nous conduit à:
[tex]P=4c => c=P/4 = 20/4 = 5m[/tex]. Pour un côté de 5m on aboutit donc à une aire de 25 m².
En prenant un cercle pour la forme du potager, on aboutit égalemet à une seule possibilité d'aire maximale. La formule du périmètre d'un carré nous conduit à:
[tex]P=2\pi r => r=P/2\pi = 20/6.28 = 3.1847 m[/tex]. Pour un côté de 3.1847m on aboutit donc à une aire de 31.8 m² environ.
Comme dit dans les commentaires, le périmètre d'un rectangle s'exprime comme suit:
[tex]P = 2(L+l) => L+l = P/2 => L+l = 10[/tex] En posant la longueur comme variable x, on obtient : [tex]L =x\ et\ l=10-x[/tex] Ce qui nous permet d'écrire que l'aire du potager aura pour expression
[tex]A(x) = 10-x^{2}\ avec\ x\in ]0;10[[/tex]
B- Représentation de la fonction (Cf image jointe)
On constate que l'aire maximale est de 25 m², ce qui nous fait revenir au cas d'un carré.
C- Comme l'a remarqué Noah, 25-10x+x² = (5-x)² et vu qu'un carré est toujours positif, cette expression sera toujours positive.
D- Démontrer la conjecture du maximum
[tex]25-10x+x^{2}\geq 0\\=> 25 \geq 10x-x^{2} \\=> 25 \geq A(x)[/tex]
Ainsi, l'aire maximale ne pourra donc qu'être 25 m², comme conjecturer sur la figure à la question B). Cependant, si le potager prend un forme circulaire, l'aire maximale obtenue monte à 31 comme vu plus haut.
Pour aller plus loin sur les problèmes..https://nosdevoirs.fr/devoir/2500370
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