Réponse :
Tu ne m'as donnée l'expression de f(x) mais vu les calculs je pense que c'est f(x)=(1-e^x)/(1+e^x) sur R
Explications étape par étape
tu as trouvé f'(x)=-2e^x/(1+e^x)²
7) Sur le graphique, on peut conjecturer que
si x tend vers -oo , f(x) tend vers+1
si x tend vers +oo, f(x) tend vers-1
plus mathématiquement
Qd x tend vers -oo, e^x tend vers 0 donc f(x) tend vers 1/1=1
Qd x tend vers +oo, la valeur 1 est négligeable devant e^x donc f(x) tend vers -(e^x)/(e^x)=-1
8) f"(x) il faut dériver f'(x), rien de compliquer avec les formules
(u/v)'= (u'v-v'u)/v² et (u^n)'=n*u'*u^(n-1)
u=-2e^x donc u'=-2e^x
v=(1+e^x)² donc v'=2(e^x)(1+e^x)
f"(x)=[(-2e^x)( 1+e^x)²-2(e^x)((1+e^x)(-2e^x)]/(1+e^x)^4
on factorise (1+e^x) au numérateur puis on simplifie par (1+e^x) et il reste f"(x)=[-2e^x)(1+e^x)+4(e^x)²]/(1+e^x)³=[2(e^x)(2e^x-1-e^x)]/(1+e^x)³
f"(x)=2(e^x)(e^x-1)/(1+e^x)³
9a) Le signe de f"(x) dépend uniquement du signe de e^x-1
f"(x)=0 pour x=0
si x<0, f"(x)<0 et si x>0, f"(x)>0
9b) Tableau
x -oo 0 +oo
f"(x)...................-.................................0................+.........................
f'(x)...................décroi.......................................croi....................
f(x)................concave.....................0.........convexe.....................
9c) les coordonnées du point d'inflexion sont (0; 0)
10) Idée1) avec les limites calculées en question 7 tu en déduis que les droites d'équation y=1 et y=-1 sont des asymptotes horizontales et compte tenu du sens de variation de f(x) et de sa montonie tu peux dire que -1<f(x)<1
idée 2)
a) f(x)>-1 soit (1-e^x)/(1+e^x)>-1
1+e^x étant >0 on peut écrire (1-e^x) > -1(1+e^x) ce qui donne 1>-1 ce qui est évident quelque soit x
b)f(x)<1 soit (1-e^x)/(1+e^x)<1 même remarque (1+e^x) étant >0 on peut écrire (1-e^x)<(1+e^x) e^ x étant positif ceci est évident
On peut conclure que -1<f(x)<1
