Réponse : Bonjour,
a) ABC est un triangle équilatéral, donc la hauteur issue de A, passe par le milieu de [BC], donc BH=2 cm.
Sur la figure, on observe que, pour [tex]x \in [0;2][/tex], l'aire du triangle AMH est maximale quand x=0, et décroit, plus on se rapproche de x=2.
Pour [tex]x \in [2;4][/tex], l'aire du triangle AMH est nulle, pour x=2, et augmente, plus on se rapproche de C, pour atteindre pour x=4, l'aire du triangle AHC.
On peut donc conjecturer le tableau de variations suivant:
x 0 2 4
f(x) (décroissante) Ф (croissante)
b) f(x) est l'aire du triangle AMH, pour tout x ∈ [0;4].
Deux cas se présentent:
i) Pour x ∈ [0;2], BM=x, donc MH=BH-BM=2-x.
ii) Pour x ∈ [2;4], BM=BH+MH, donc MH=BM-BH=x-2.
I) Calculons d'abord l'aire du triangle AMH, pour x ∈ [0;2].
Pour x ∈ [0;2], l'aire du triangle AMH, f(x) est:
[tex]\displaystyle f(x)=\frac{MH \times AH}{2}[/tex]
Il nous reste à calculer la hauteur AH.
Dans le triangle ABH rectangle en H, d'après le théorème de Pythagore:
[tex]AB^{2}=AH^{2}+BH^{2}\\AH^{2}=AB^{2}-BH^{2}\\AH^{2}=4^{2}-2^{2}=16-4=12\\AH=\sqrt{12}=2\sqrt{3}[/tex]
On a donc, pour x ∈ [0;2]:
[tex]\displaystyle f(x)=\frac{2\sqrt{3}(2-x)}{2}=\sqrt{3}(2-x)=-\sqrt{3}x+2\sqrt{3}[/tex]
II) L'aire du triangle AMH, pour x ∈ [2;4].
Dans ce cas:
[tex]\displaystyle f(x)=\frac{2\sqrt{3}(x-2)}{2}=\sqrt{3}(x-2)=\sqrt{3}x-2\sqrt{3}[/tex]
La fonction f est donc une fonction affine par morceaux.
Pour x ∈ [0;2], [tex]f(x)=-\sqrt{3}x+2\sqrt{3}[/tex], f est une fonction affine, et comme le coefficient directeur [tex]-\sqrt{3} < 0[/tex], alors f est strictement décroissante, sur l'intervalle [0;2].
On a f(0)=[tex]2\sqrt{3}[/tex], et f(2)=[tex]-2\sqrt{3}+2\sqrt{3}=0[/tex].
Pour x ∈ [2;4], f(x)=[tex]\sqrt{3}x-2\sqrt{3}[/tex], f est aussi affine dans ce cas là, et comme le coefficient directeur [tex]\sqrt{3} > 0[/tex], alors f est strictement croissante sur l'intervalle [2;4].
On a que f(4)=[tex]4\sqrt{3}-2\sqrt{3}=2\sqrt{3}[/tex].
On obtient donc le tableau de variations complet de f, pour x ∈ [0;4]:
x 0 2 4
f(x) [tex]2\sqrt{3}[/tex] (décroissante) Ф (croissante) [tex]2\sqrt{3}[/tex]