Réponse : Bonjour,
a) On a:
[tex]\displaystyle \int_{0}^{1} 0,4x \; dx+\int_{1}^{2} 0,8x-0,4 \; dx=\left[\frac{0,4x^{2}}{2}\right]_{0}^{1}+\left[\frac{0,8x^{2}}{2}-0,4x\right]_{1}^{2}\\=\frac{0,4}{2}+\frac{0,8 \times 4}{2}-0,4 \times 2-\frac{0,8 \times 1}{2}+0,4 \times 1=0,2+1,6-0,8-0,4+0,4\\=-0,6+1,6=1[/tex]
Comme la quantité précédente est égale à 1, alors f défini bien une densité de probabilité.
b)
[tex]\displaystyle P(0 \leq X \leq 1)=\int_{0}^{1} 0,4x \; dx=\left[\frac{0,4 x^{2}}{2}\right]_{0}^{1}=\frac{0,4 \times 1}{2}=0,2[/tex]
c)
[tex]\displaystyle P(1,5 \leq X \leq 2)=\int_{1,5}^{2} 0,8x-0,4 \; dx=\left[\frac{0,8x^{2}}{2}-0,4x\right]_{1,5}^{2}\\=\frac{0,8 \times 4}{2}-0,4 \times 2-\frac{0,8 \times \left(\frac{3}{2}\right)^{2}}{2}+0,4 \times \left(\frac{3}{2}\right)\\=1,6-0,8-\frac{0,8 \times \frac{9}{4}}{2}+1 \times \frac{3}{5}=0,8-\frac{1 \times \frac{9}{5}}{2}+\frac{3}{5}=0,8-\frac{9}{5} \times \frac{1}{2}+\frac{3}{5}\\=\frac{4}{5}-\frac{9}{10}+\frac{3}{5}=\frac{8-9+6}{10}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}=0,5[/tex]
d)
[tex]\displaystyle P(0,5 \leq X \leq 1,5)=\int_{0,5}^{1} 0,4x \; dx+\int_{1}^{1,5} 0,8x-0,4 \; dx\\=\left[\frac{0,4x^{2}}{2}\right]_{0,5}^{1}+\left[\frac{0,8x^{2}}{2}-0,4x\right]_{1}^{1,5}\\=\frac{0,4 \times 1}{2}-\frac{0,4 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{2}}{2}+\frac{0,8 \times \left(\frac{3}{2}\right)^{2}}{2}-0,4 \times \frac{3}{2}-\frac{0,8 \times 1}{2}+0,4 \times 1\\=0,2-\frac{0,4 \times \frac{1}{4}}{2}+\frac{0,8 \times \frac{9}{4}}{2}-1 \times \frac{3}{5}-0,4+0,4[/tex]
[tex]\displaystyle =0,2-\frac{1 \times \frac{1}{10}}{2}+\frac{1 \times \frac{9}{5}}{2}-\frac{3}{5}=\frac{1}{5}-\frac{1}{10} \times \frac{1}{2}+\frac{9}{5} \times \frac{1}{2}-\frac{3}{5}\\=-\frac{2}{5}-\frac{1}{20}+\frac{9}{10}=\frac{-8-1+18}{20}=\frac{9}{20}=0,45[/tex]
