1) Calcul des aires des triangles :
Rappel de la formule :
[tex] \frac{base \times hauteur}{2} [/tex]
Le triangle ADM :
AM = x et AD = 4
[tex] \frac{4x}{2} = 2x[/tex]
L'aire de ADM est 2x.
Le triangle BMN :
BN=x et MB = 4-x
[tex] \frac{x(4 - x)}{2} = \frac{4x - {x}^{2} }{2} = 2x - \frac{ {x}^{2} }{2} [/tex]
L'aire se BMN est 2x-x^2/2.
Le triangle CDN :
CD = 4 et NC = 4-x
[tex] \frac{4(4 - x)}{2} = 2(4 - x) = 8 - 2x[/tex]
L'aire de CDN est 8-2x.
L'aire se DMN.
Son aire correspond à l'aire du carré à laquelle on soustrait les aires des trois triangles AMD, BMN et CDN.
[tex] {4}^{2} - (2x) - (2x - \frac{ {x}^{2} }{2} ) - (8 - 2x) = \\ 16 - 2x - 2x + \frac{ {x}^{2} }{2} - 8 + x = \\ 16 - 8 - 2x + \frac{ {x}^{2} }{2} = \\ 8 - 2x + \frac{ {x}^{2} }{2} [/tex]
3) Développons l'expression donnée
[tex] \frac{ {(x - 2)}^{2} }{2} + 6 = \frac{ {x}^{2} + 4 - 4x }{2} + 6 = \\ \frac{ {x}^{2} + 4 - 4x + 12}{2} = \frac{ {x}^{2} }{2} + \frac{16}{2} - \frac{4x}{2} = \\ \frac{ {x}^{2} }{2} + 8 - 2x[/tex]
4) Calcul de l'aire minimale
On sait que : 0<x<4.
Voici mes résultats :
x=0, Aire = 8
x=1, aire = 6,5
x=2, aire = 6
x=3, aire = 6,5
x=4, aire =8.
Donc x = 2 pour que l'aire de DMN soit minimale.
