Réponse :
1) Dans le triangle ABE, I est le milieu de [AB] et J le milieu de [AE] donc d'après le théorème de la droite des milieux, les droites (IJ) et (BE) sont parallèles.
2) BE est la longueur la plus importante du triangle ABE. Nous avons :
\begin{align*}
&AB^{2}+AE^{2}=6^{2}+8^{2}=36+64=100\\
&BE^{2}=10^{2}=100
\end{align*}
Comme AB^{2}+AE^{2}=BE^{2} , le triangle ABE est rectangle en A d'après la réciproque du théorème de Pythagore.
3) Le triangle AEB est rectangle en A, on peut utiliser les formules trigonométriques pour déterminer la mesure de l'angle \widehat{AEB} :
\begin{align*}
\cos{\widehat{AEB}}&=\frac{\text{c\^ot\'e adjacent \`a }\widehat{AEB}}{\text{hypot\'enuse}}\\
&=\frac{AE}{EB}\\
&=\frac{8}{10}\\
&=0.8
\end{align*}
D'après la calculatrice, cos^{-1}(0.8)\approx
37^{\circ} donc l'angle \widehat{AEB} mesure approximativement 37° (valeur arrondie au degré près).
4)
a) Le triangle IAJ est rectangle en A et inscrit dans le cercle (C), par conséquent [IJ] est un diamètre de ce cercle. On en déduit que le centre du cercle (C) est le milieu du segment [IJ].
b) Nous devons calculer la longueur IJ. D'après la question 1, les droites (IJ) et (BE) sont parallèles donc d'après le théorème de Thalès, nous avons :
\begin{align*}
&\frac{AI}{AB}=\frac{AJ}{AE}=\frac{IJ}{BE}\\
&\frac{3}{6}=\frac{4}{8}=\frac{IJ}{10}
\end{align*}
On en déduit la longueur IJ :
\begin{align*}
&0.5=\frac{IJ}{10}\\
&IJ=0.5\times 10\\
&IJ=5\text{ cm}
\end{align*}
IJ mesure 5 cm.
Par conséquent, le rayon du cercle (C) mesure 2.5 cm.
Explications étape par étape
