Réponse : Bonjour,
Exercice 66
1) On a:
[tex]\displaystyle f(4+\frac{4}{3})=\frac{1}{4+\frac{4}{3}}=\frac{1}{\frac{12+4}{3}}=\frac{1}{\frac{16}{3}}=\frac{3}{16}\\f(4) \times f(\frac{4}{3})=\frac{1}{4} \times \frac{1}{\frac{4}{3}}=\frac{1}{4} \times \frac{3}{4}=\frac{3}{16}\\Donc \; f(4+\frac{4}{3})=f(4) \times f(\frac{4}{3})[/tex]
Donc le couple [tex]\displaystyle (4;\frac{4}{3})[/tex] satisfait (F).
On a:
[tex]\displaystyle f(-4+\frac{4}{5})=\frac{1}{-4+\frac{4}{5}}=\frac{1}{\frac{-20+4}{5}}=\frac{1}{\frac{-16}{5}}=-\frac{5}{16}\\f(-4) \times f(\frac{4}{5})=-\frac{1}{4} \times \frac{1}{\frac{4}{5}}=-\frac{1}{4} \times \frac{5}{4}=-\frac{5}{16}\\Donc \; f(-4+\frac{4}{5})=f(-4) \times f(\frac{4}{5})[/tex]
Donc le couple [tex]\displaystyle (-4;\frac{4}{5})[/tex] satisfait (F).
2) Déterminons a pour que le couple (a;3) vérifie (F):
[tex]\displaystyle f(a+3)=\frac{1}{a+3}\\f(a) \times f(3)=\frac{1}{a} \times \frac{1}{3}=\frac{1}{3a}\\Donc \; \frac{1}{a+3}=\frac{1}{3a} \Leftrightarrow \frac{3a-(a+3)}{3a(a+3)}=0 \Leftrightarrow \frac{3a-a-3}{3a(a+3)}=0 \Leftrightarrow \frac{2a-3}{3a(a+3)}=0 \\ \Leftrightarrow 2a-3=0 \Leftrightarrow 2a=3 \Leftrightarrow a=\frac{3}{2}[/tex]
Donc le couple [tex]\displaystyle (\frac{3}{2};3)[/tex] vérifie (F).
3) Montrons qu'il n'existe pas de couple (1;b), vérifiant (F):
[tex]\displaystyle f(1+b)=\frac{1}{1+b}\\ f(1) \times f(b)=\frac{1}{1} \times \frac{1}{b}=\frac{1}{b}\\\frac{1}{1+b}=\frac{1}{b} \Leftrightarrow \frac{1}{1+b}-\frac{1}{b}=0 \Leftrightarrow \frac{b-(1+b)}{b(1+b)}=0 \Leftrightarrow \frac{b-1-b}{b(1+b)}=0 \Leftrightarrow -\frac{1}{b(1+b)}=0[/tex]
Or cette dernière équation [tex]\displaystyle -\frac{1}{b(1+b)}=0[/tex], n'a pas de solution, donc il n'existe pas de couple (1;b), vérifiant (F).
4) Soit [tex]a \ne 1[/tex], et [tex]b \in \mathbb{R}^{*}[/tex], et déterminons tous les couples (a;b), vérifiant (F):
[tex]\displaystyle f(a+b)=\frac{1}{a+b} \\f(a) \times f(b)=\frac{1}{a} \times \frac{1}{b}=\frac{1}{ab}\\\frac{1}{a+b}=\frac{1}{ab} \Leftrightarrow \frac{1}{a+b}-\frac{1}{ab}=0 \Leftrightarrow \frac{ab-(a+b)}{ab(a+b)}=0 \Leftrightarrow \frac{ab-a-b}{ab(a+b)}=0 \\ \Leftrightarrow ab-a-b=0 \Leftrightarrow b(a-1)=a \Leftrightarrow b=\frac{a}{a-1}[/tex]
Donc tous les couples solutions sont:
[tex]\displaystyle \{a \in \mathbb{R}^{*}, a\ne 1, (a;\frac{a}{a-1})\}[/tex]
