Bonjour! J'ai beaucoup de difficulté avec ce chapitre et je voudrais demander votre aide..
Voici l'exercice:
Énoncé:
Sur la figure ci-dessus, Gf représente, une fonction f définie sur [0;30].
La tangente (T) à Gf au point d'abscisse 0 passe par le point A(2;4)
La tangente (T) à Gf au point d'adscisse 10 est parallèle à l'axe des abscisses.

1.Determiner f(0),f'(0) et f'(10)

2. On suppose que la fonction f est définie sur [0;30] par: f(x)=2xe^-0.1x
2.a Montrer que pour tout reel x on a : f'(x)=0.2e^-0.1x(10-x)

2.b Étudier le signe de f'(x) sur [0;30] et en déduire le tableau de variation de f(x).

3.a Justifier que l'équation f(x)=5 posse une unique solution dans l'intervalle [0;10]. On la notra alpha
3.b. Déterminer un encadrement de alpha au centième.

4.On admet que la fonction dérivée seconde de f, notée f'',est définie pour tout x de [0;30] par f''(x)=1/50e^0,1x(x-20)

4.a Étudier la convexité de f sur [0;30]
4.b Que peut on en déduire pour le point d'abscisse 20 de la courbe Gf.Justifier.

Partie B:

Une entreprise fabrique de manière artisanale des jouets en bois. Les bénéfices de la production sont modélisée par la fonction F, ou X et le nombre de centaines de jouets et F(X )le bénéfice exprimée en milliers d'euros.

1. Quel est le nombre de jouets qu'il faut produire pour que le bénéfice soit maximal ? Indiquer la valeur de ce bénéfice maximal a l'euro près.

2. Combien l'entreprise doit-elle produire de jouets pour que le bénéfice soit supérieur ou égal à 5000 € ?

Merci beaucoup

Sur [0;10] , f(x) est continue et strictement croissante passant de la valeur zéro pour x=0 à une valeur ≈ 7.36 pour x=10. Donc d'après la théorème des valeurs intermédiaires , il existe un unique réel α tel que f(α)=5.

b)

f(3) ≈ 4.44 < 5

f(4) ≈ 5.36 > 5

f(3.5) ≈ 4.93 < 5

f(3.6) ≈ 5.02 > 5

f(3.57) ≈ 4.9964 < 5

f(3.58) ≈5.0054 > 5

Donc :

α ≈ 3.57 à 0.01 près.

4)

a)

Je suppose qu'il faut lire :

f "(x)=(1/50)exp(-0.1x)(x-20)

f "(x) est donc du signe de (x-20).

x-20 > 0 ==> x > 20

Donc sur [0;20] , f "(x) est < 0 et f(x) est concave.

Et sur [20;30] , f "(x) est > 0 donc f(x) est convexe.

b)

Comme f "(x) s'annule et change de signe en x=20 , on peut en déduire que le point d'abscisse x=20 est un point d'inflexion pour Cf.

Partie B :

1)

Je suppose que tu parles de f(x) et non F(X) ??

D'après le tableau de variation de f(x) , le bénéfice est max pour x=10 ( en centaines de jouets)..

Et f(10)≈ 7.3576 en milliers d'euros

Il faut donc produire 1000 jouets pour un bénéfice max de 7358 euros environ ( à l'euro près).

2)

Il faut résoudre f(x) > 5.

On utilise la valeur de α ≈ 3.57

Mais on voit graphiquement que f(x) < 5 sur [10;30] à partir d'une valeur x=β comprise entre x=20 et x= 22.

Avec la calculatrice , on trouve :

f(21.53) ≈ 5.0008

f(21.54) ≈ 4.9981

β≈ 21.53

Il faut donc produire plus de 357 jouets mais moins de 2153 pour avoir un bénéfice > 5000 euros.