Explications étape par étape
1. On sait que : ADM est un triangle rectangle en A ; ADM = 60° et AD = 2 m.
D'après : tan ( ADM ) = AM / AD
tan ( 60° ) = AM²
AM = tan ( 60° ) * 2 ≈ 3,46 m.
Donc [AM] mesure bien environ 3,46 m.
2. La plaque ABCD a une forme de rectangle, son aire est :
A = L * l = 4 * 2 = 8 m²
La partie non utilisée de la plaque est le rectangle MBCN.
Comme [AM] mesure environ 3,46 m, et que [AB] mesure 4 m, cela signifie que [MB] mesure environ 0,54 m.
L'aire de la partie non utilisée est donc : A = L * l = 0,54 * 2 = 1,08 m²
La proportion de la partie non utilisée est donc : 1,08 / 8 ≈ 0,14.
3. Deux triangles sont semblables s'ils ont des côtés proportionnels ou si leurs angles sont de mêmes mesures.
Dans le triangle ADM : ADM = 60° ; DAM = 90° et donc AMD = 30° car la somme des angles d'un triangle vaut 180°.
Dans le triangle PDN : DPN = 90° ; PDN = 30° (car ADN est un angle droit et ADM = 60° ) et PND = 60° car la somme des angles d'un triangle vaut 180°.
Dans le triangle PMN : MPN = 90° ; PMN = 60° (car AMN est un angle droit et AMD = 30° ) et MNP = 30° car la somme des angles d'un triangle vaut 180°.
Donc les trois triangles ont trois angles de mêmes mesures, donc ils sont semblables.
4. Comme les triangles PND et AMD sont semblables, on a donc les côtés [DM] et [DN] qui sont associés. (On a également les côtés [AM] et [DP] qui sont associés et les côtés [AD] et [PN] qui sont associés.)
Pour calculer le coefficient d'agrandissement, on calcule la longueur DM en utilisant le théorème de Pythagore (on peut aussi calculer la longueur DP ou la longueur PN avec les formules de trigonométrie).
On sait que : ADM est un triangle rectangle en A ; AM = 3,46 m ; AD = 2 m.
D'après le théorème de Pythagore :
DM² = AM² + AD²
DM² = 3,46² + 2²
DM² = 11,9716 + 4
DM² = 15,9716 donc DM = √15,9716 ≈ 4 m.
Pour calculer le coefficient d'agrandissement, on fait :
k = DM/DN = 4 / 3,46 ≈ 1,16
Le coefficient d'agrandissement pour passer du triangle PDN au triangle AMD est donc de 1,16 donc il est plus petit que 1,5.
