Réponse : Bonsoir,
1) On a:
x 1 2 3
f'(x) - Ф +
2) On a:
[tex]f'(x)=a-\frac{c}{x^{2}}=\frac{ax^{2}-c}{x^{2}}\\f'(2)=0 \Leftrightarrow a \times 2^{2}-c=0 \Leftrightarrow 4a-c=0 \Leftrightarrow c=4a\\f(2)=-4 \Leftrightarrow 2a+b+\frac{c}{2}=-4 \Leftrightarrow 2a+b+2a=-4 \Leftrightarrow 4a+b=-4\\f(3)=2 \Leftrightarrow 3a+b+\frac{c}{3}=2 \Leftrightarrow 3a+b+\frac{4}{3}a=2 \Leftrightarrow \frac{13}{3}a+b=2[/tex]
Il faut donc résoudre le système de deux équations à deux inconnues suivant:
[tex]\displaystyle \left \{ {{4a+b=-4} \atop {\frac{13}{3}a+b=2}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{b=-4-4a} \atop {\frac{13}{3}a-4-4a=2}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{b=-4-4a} \atop {\frac{1}{3}a-4=2}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{b=-4-4a} \atop {\frac{1}{3}a=6}} \right.\\ \Leftrightarrow \left \{ {{b=-4-4a} \atop {a=18}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{b=-4-4 \times 18} \atop {a=18}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{b=-76} \atop {a=18}} \right.[/tex]
Enfin, comme c=4a, alors [tex]c=4 \times 18=72[/tex].
Donc [tex]f(x)=18x-76+\frac{72}{x}[/tex]
On en déduit que:
[tex]f(1)=18 \times 1-76+\frac{72}{1}=18-76+72=18-4=14[/tex]
Vérification:
[tex]f(2)=18 \times 2-76+\frac{72}{2}=36-76+36=72-76=-4\\f(3)=18 \times 3-76+\frac{72}{3}=54-76+24=-22+24=2\\f'(2)=18-\frac{72}{2^{2}}=18-\frac{72}{4}=18-18=0[/tex]
On retrouve bien les résultats du tableau de variations.
