Bonjour ;
2.
f(x) = 2e^{- x} - e^{- 2x}
= e^{- 2x}(2e^{- x}e^{2x} - e^{- 2x}e^{2x})
= e^{- 2x}(2e^{x} - 1) .
On a lim(x --> -∞) e^{- 2x} = + ∞ et lim(x --> -∞) e^{x} ;
donc lim(x --> -∞) e^{x} - 1 = - 1 ;
donc lim(x --> -∞) f(x) = lim(x --> -∞) e^{- 2x}(e^{x} - 1) = - ∞ .
3.
a.
f ' (x) = (e^{- 2x}(2e^{x} - 1)) '
= (e^{- 2x}) ' (2e^{x} - 1) + e^{- 2x}(2e^{x} - 1) '
= - 2e^{- 2x}(2e^{x} - 1) + e^{- 2x}(2e^{x})
= - 2e^{- 2x}(2e^{x} - 1) + 2e^{- 2x}e^{x}
= 2e^{- 2x}(- 2e^{x} + 1 + e^{x})
= 2e^{- 2x}(- e^{x} + 1)
= 2e^{- 2x}(1 - e^{x}) .
b.
On a pour tout x de IR , e^{- 2x} > 0 ; donc f ' est du signe de 1 - e^{x} .
On a pour tout x de IR- , e^{x} ≤ 1 ; donc : 0 ≤ 1 - e^{x} ;
donc pour : x ≤ 0 , f ' (x) ≥ 0 ; donc pour x ≤ 0 , f est croissante .
On a pour tout x de IR+ , e^{x} ≥ 1 ; donc : 0 ≥ 1 - e^{x} ;
donc pour : x ≥ 0 , f ' (x) ≤ 0 ; donc pour x ≥ 0 , f est décroissante .
On a f ' (x) = 0 ;
donc : 2e^{- 2x}(1 - e^{x}) = 0 ;
donc : 1 - e^{x} = 0 ;
donc : e^{x} = 1 ;
donc : x = 0 ;
donc comme f ' s'annule pour x = 0 et f ' y change de signe ;
donc f admet un minimum en x = 0 qui est f(0) = 1 .
4.
La courbe représentative de f rencontre l'axe des abscisses
au point B d'abscisse xB et d'ordonnée yB = 0 ;
donc on : f(xB) = 0 .
Résolvons l'équation f(x) = 0 .
f(x) = 0 ;
donc : e^{- 2x}(2e^{x} - 1) = 0 ;
donc : 2e^{x} - 1 = 0 ;
donc : 2e^{x} = 1 ;
donc : e^{x} = 1/2 ;
donc : x = ln(1/2) = - ln(2) ;
donc on a xB = - ln(2) .
