Réponse :
Explications étape par étape
question 1 -
a)
les points A, B et C sont sur la courbe de y = x^2
donc ils ont pour coordonnees (a, a^2) (b,b^2) (c,c^2)
de ce fait
vecteur AB a pour coordonnee [ (b-a), (b^2-a^2) ]
or (b^2-a^2) = (b-a) (b+a)
de ce fait les coordonnees du vecteur AB sont [ (b-a), (b-a)(b+a) ]
de meme les coordonnees du vecteur AC sont [ (c-a), (c-a)(c+a) ]
b)
par definition, le determinant des vecteurs AB et AC est
(c-a)(c+a)(b-a) - (b-a)(b+a)(c-a)
qui se factorise en
(b-a)(c-a) [ (c+a) - (b+a) ]
bon ben maintenant on va supprimer les parentheses dans (c+a) - (b+a) pour trouver c + a - b - a = c - b d ou
le determinant des vecteurs AB et AC est (b-a)(c-a)(c-b)
c)
pour que les vecteurs AB et AC soient colineaires il faut que leur determinant soit nul
ce qui veut dire
b-a=0 ou c-a=0 ou c-b=0
ce qui est equivalent a dire
b=a ou c=a ou b=a
mais on se souvient de l enonce qui stipule que les reels a b et c sont deux a deux distincts
donc c est pas possible donc le determinant est non nul donc
les vecteurs AB et AC ne sont pas colineaires.
on en deduit que les points A B et C ne sont pas alignes
Question 2 -
a)
c est reparti, on applique la meme methode qu a la question 1 a) et b) d ou
les coordonnees du vecteur AB sont [ (b-a), (b-a)(b+a) ]
les coordonnees du vecteur CD sont [ (d-c), (d-c)(d+c) ]
b)
les cordes [AB] et [CD] sont parallelles si et seulement si les vecteurs AB et CD sont colineaires
ce qui est equivalent a dire que leur determinant est nul
ben c est le moment de calculer ce determinant, ca donne
(d-c)(d+c)(b-a) - (b-a)(b+a)(d-c)
= (d-c)(b-a) [ (d+c) - (b+a) ]
= (d-c)(b-a) [ d + c - b- a ]
= (d-c)(b-a)(d + c - b -a )
les points sont distincts donc a est different de b et c est different de d
du coup le determinant s annule si d + c - b - a = 0
pour conclure les cordes [AB] et [CD] sont parallelles si et seulement si d + c - b - a = 0
