Réponse :
Explications étape par étape
1.
a)
[AC] est la diagonale du carré ABCD base de la pyramide. Donc le triangle ACB est rectangle en B. D"après le théorème de Pythagore
AC² = AB²+BC²=2c² (où c est le côté du carré : c=AB=BC)
Soit AC =[tex]\sqrt{2}.c[/tex] ≅ 50,09 m
b) Le triangle SAC est isocèle en S (SA=SC). Donc sa hauteur [SH] est aussi médiane. H est donc le milieu de [AC]
Le triangle SAH est rectangle en H. En utilisant la fonction trigonométrique on a : [tex]tan(SAC) = \frac{SH}{AH} = \frac{SH}{\frac{AC}{2} } = \frac{2SH}{AC} = \frac{2h}{\sqrt{2} c}=\frac{\sqrt{2} h}{c}[/tex] avec h hauteur de la pyramide
Soit [tex]tan(SAV)=\frac{\sqrt{2}*21,64 }{35,42}[/tex]≅0,8640
Donc SAV =40,8°
2.
a) Soit M le milieu de [AB] et N le milieu de [CD]. On a MN=BC=AD=c
MN = 35,42 m
b) Le triangle SMN est isocèle en S donc la hauteur [SE] est aussi médiane. E est le milieu de [MN]
Or H est le milieu de [AC] et H milieu de [BD] avec AC=BD (dans un carré les diagonales ont même longueur). Donc le triangle ABH est isocèle et [HM] médiane et donc aussi hauteur.
Donc [AB]⊥[HM] mais également [AB]⊥[ME] donc les points (M,H,E) sont alignés. Or [SH]⊥plan (ABCD) et [SE]⊥plan (ABCD) ce qui impose H=E
Donc SE=SH=h
Dans le triangle SME rectangle en E on a :
[tex]tan(SME)=\frac{SE}{EM} =\frac{h}{\frac{MN}{2} } =\frac{2h}{c}[/tex]
Donc [tex]tan(SMN)= \frac{2*21,64}{35,42}[/tex]≅1,2219
Donc SMN = 50,7°
c.
Dans le triangle SME rectangle en E on a :
[tex]Cos(SME)=\frac{ME}{SM} => SM =\frac{ME}{cos(SME)} =\frac{c}{2. cos SMN}[/tex]
[tex]SM = \frac{35,42}{2 cos 50,7} = 27,96 m[/tex]
d.
La surface latérale de la pyramide est composée de l'aire des 4 triangles isocèles semblabes au triangle SAB donc {SM] est une hauteur et {AB] la base opposée au somment S
On a [tex]A(SAB) = \frac{AB*SM}{2} =\frac{35,42*27,96}{2} = 495,17 m2[/tex]
La surface totale latérale est [tex]S= 4*495,17 = 1980,7 m2[/tex]
