Réponse :
Bonsoir
Explications étape par étape
Partie A
1) f'(x) = 1 - 2x/(x²+1) = (x²- 2x +1)/(x²+1) = (x-1)²/(x²+1)
donc f'(x) ≥ 0
donc f(x) est croissante sur [0 ; 1]
2) f(x) étant croissante, si 0 ≤ x ≤1, on a f(0) ≤ f(x) ≤ f(1)
⇔ 0 ≤ f(x) ≤ 1 - ln(2) ≤ 1
Partie B
1) Pour le tracé,pense à tracer la droite d'équation y = x, qui te permet de reporter les images sur l'axe des abscisses,afin de représenter tes points U(1) , U(2) et U(3)
2) Soit P(n) la propriété : 0 ≤ U(n) ≤ 1
Initialisation :
U(0) = 1 ⇔ 0 ≤ U(0) ≤ 1
P(0) est vraie
Hérédité :
soit un entier n tel que : 0 ≤ U(n) ≤ 1 (H.R.)
⇔ f(0) ≤ f(U(n)) ≤ f(1) (car f est croissante)
⇔ 0 ≤ U(n+1) ≤ 1-ln(2) ≤ 1
Donc P(n+1)est vraie
P(n) est donc héréditaire
Conclusion
Quelque soit n (entier) , 0 ≤ U(n) ≤ 1
U(n) ∈ [0 ; 1]
3) U(n+1) - U(n) = U(n) - ln(U(n)² + 1) - U(n) = -ln(U(n)²+1)
U(n)² + 1 ≥ 1 , donc ln(Un)²+1) ≥ 0 donc -ln(U(n)² + 1) ≤ 0
La suite U(n) est donc décroissante
4) On a montré que 0 ≤ U(n) ≤ 1
U(n) est bornée, elle est donc convergente
on lim U(n) = l (l réel)
et lim U(n+1) = l
⇔ l - ln(l²+1) = l ⇔ -ln(l²+1) = 0 ⇔ l² + 1 = 1 ⇔ l = 0
La limite de U(n) en +∞ est donc 0
